ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Вывод основных дифференциальных уравнений из "Лекции по основам газовой динамики" Свойство движения газа, выражаемое уравнением (10), можно сформулировать так при гладком движении газа энтропия сохраняется в частице. [c.32] В приложениях возникает необходимость в изучении классов движений, более широких по сравнению с классом гладких движений. Математическая модель таких движений может быть построена на основе интегральных законов сохранения (1.3). Вначале рассматривается абстрактный закон сохранения (3.1). В предыдущем параграфе было показано, что если величины U, / и уз обладают непрерывными производными, то (3.1) равносильно (3.6), откуда вытекало дифференциальное уравнение (3.7). Здесь (3.6) будет обобщено в другом направлении. [c.35] для непрерывно дифференцируемых функций и. /. уз из выполнения (3.6) для любого объема и) 1) С следует выполнение (3) для любой замкнутой гиперповерхности Г С Л - Ясно, что, и обратно, специализируя Г как цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси i в Н, и сечением и) С легко вывести (3.6) из (3). [c.36] Однако если не предполагать функции и, /, уз непрерывно дифференцируемыми, то из (3) указанным путем уже не удастся вывести (3.6). В частности, такой вывод невозможен, если величины и, /, у сами разрывны. В этом смысле закон сохранения (3) является обобщением закона сохранения (3.6). [c.36] Соотношения (4) получаются из абстрактного (3) путем специализации функции / и уз соответственно законам сохранения (1.3). В силу предыдущего они равносильны дифференциальным уравнениям (3.11) в классе гладких движений газа. [c.36] Движение с сильным разрывом. Класс всех обобщенных движений газа до настоящего времени полностью не изучен. Фактически исследован только (во всяком случае, для многомерных движений) некоторый подкласс обобщенных движений, а именно класс движений с сильным разрывом. [c.36] Определение 2. Если в области определения обобщенного движения существует гиперповерхность Е С R , на которой величины и, р, р, е имеют разрыв первого рода и вне которой это движение гладкое, то такое движение называется движение.м с сильным разрывом, а сечение B t) гиперповерхности Е гиперплоскостями t — onst называется поверхностью сичьного разрыва. [c.36] поверхность сильного разрыва В 1) есть двумерная поверхность в пространстве Л (х), которая перемещается с течением времени и на которой функции и, /9, р, имеют разрыв первого рода, оставаясь гладкими с каждой стороны от В 1). Оказывается, что величины разрывов (или, как говорят, скачков) этих функций не могут быть произвольными, но с необходимостью удовлетворяют некоторым соотношениям, которые и называются уравнениями сильного разрыва. [c.37] Некоторое неудобство этого уравнения состоит в том, что в него входит четырехмерная нормаль и к гиперповерхности Е. Однако нормаль V можно исключить с помощью понятия скорости перемещения поверхности и тем самым получить описание сильного разрыва в терминах только пространства Д (х). [c.38] Первый тип разрыва = D,,. В этом случае скорость течения газа в направлении нормали п к B t) равна скорости перемещения самой поверхности B t) в том же направлении. Следовательно, через такой разрыв газ не течет. Из (9) следует, что на таком разрыве необходимо [р] - О и = 0. Однако, вообще говоря, может быть [р] ф О, iej О и [и ] Ф 0. Сильный разрыв этого типа называется контактным разрывом. [c.39] Второй тип разрыва ф Оп- В этом случае иа] = О, но, вообще говоря, [и ] ф О, [р] ф О, [р] ф О, 5 ф 0. Через такой разрыв газ течет. Сильный разрыв этого типа называется ударной волной. [c.39] Основное качественное различие двух указанных типов разрывов состоит в том, что контактный разрыв разделяет области, каждая из которых состоит все время из одних и тех же частиц газа, а ударная волна распространяется по частицам газа. [c.39] Ударные волны. Поверхность ударной волны принято также называть фронтом ударной волны. [c.39] Определение 4. Та сторона фронта ударной волны, с которой газ натекает на нее, называется передней стороной (или стороной перед фрон-пгом) ударной волны. Противоположная сторона фронта называется задней стороной (или стороной за фронтом) ударной волны. [c.39] Адиабата Гюгонио. При исследовании ударных волн ключевым является уравнение (18), так как оно связывает только термодинамические величины. Более того, в силу уравнения состояния (2.7) верны выражения 1 - е(УьР1) и 2 = е(У2,р2), благодаря чему уравнение (18) определяет термодинамическое состояние (1 ,Р2) газа за ударной волной только по термодинамическому состоянию (УьР ) перед волной. [c.41] Иногда вместо термина адиабата Гюгонио употребляется синоним ударная адиабата . С функцией Гюгонио (19) уравнение (18) записывается в виде Н Уо,р2, У1-.р ) — 0. [c.41] Здесь собраны фундаментальные свойства ударного перехода, т. е. изменения основных величин при переходе через ударную волну. Эти свойства являются общими и верны для любого нормального газа (определение 2.2). Ниже они фиксируются в виде ряда теорем и их следствий. [c.41] Форма адиабаты Гюгонио. Вначале устанавливается общая форма адиабаты Гюгонио (4.20) на плоскости Д (Кр). [c.42] Можно показать, что в нормальном газе всегда Vq ос. [c.42] Вернуться к основной статье