ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Расширение геодезического потока из "Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория" Лемма 1. Система (4) обладает интегралами у и F x у). [c.90] Мы ограничимся решениями (4) с у = 1, F = 0. Интерпретируем точку (,т, у), у = 1, в фазовом пространстве как прямую, проходящую через точку х G в направлении у. Таким образом, (х, у) представляет направленную прямую L = L x, у) с отмеченной на ней точкой X. Мы будем предполагать, что градиент не обращается в нуль при / = О, так что / = О задает гладкое многообразие. [c.90] Последнее представляет собой дифференциальное уравнение для геодезической на / = onst, поскольку вторая производная ортогональна поверхности. [c.91] Таким образом, мы можем представлять себе решения системы (4) при Н = О как движение прямых прямые движутся таким образом, что остаются касательными к одной и той же геодезической на / = 0. Отмеченная точка х на этой прямой движется при этом перпендикулярно к самой прямой. Этот поток мы будем называть потоком прямых, связанным с f x) = 0. [c.91] Следовательно, мы показали, что геодезический поток на / = О получается из потока (4) ограничением гамильтониана (3) на симплектическое подмногообразие М, заданное формулами (6). Это верно с точностью до перепараметризации 1. [c.94] Прн редукции системы (4) относительно группового действия (11) получается с точностью до перепараметризации геодезический поток на f x) = onst. Фиксация интеграла F = О приводит к геодезическому потоку на касательном расслоении единичных векторов к / = 0 . [c.95] Обратно, мы можем рассматривать (4) как расширение геодезического потока в том смысле, что последний получается из (4) редукцией относительно группового симплектического действия. [c.95] что имеется много таких расширений. Использование такого расширения аналогично использованию однородных координат для описания точек на сфере вместо сферических координат. При этом в однородных координатах надо принимать во внимание тождественность х и Хх при Л 7 0. Подобным образом в гамильтониане следует исключить свободу действия группы. [c.95] Вернуться к основной статье