ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Редукция гамильтоновой системы с симметриями из "Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория" Подобная конструкция приводит к цели и в случае п. 2, но мы опишем другой подход в 4. [c.69] Как подобное сведение может быть осуществлено — предмет рассмотрения этого параграфа. Существуют превосходные изложения этих вопросов (см. [2], [1б]-[18]). Поэтому мы опишем этот подход, опустив доказательства и уделяя основное внимание примерам, иллюстрирующим его. [c.70] Этот пример довольно типичен для интегралов в инволюции если система допускает г коммутирующих интегралов, то ее размерность можно понизить на 2г, сведя ее к системе с п — г степенями свободы. Однако, если интегралы не находятся в инволюции, редукция устроена более сложно. [c.71] Этот тип редукций был известен Якоби, который применил его к проблеме 3 тел в Е , используя инвариантность этой системы относительно группы преобразований Галилея, содержащей группу вращений 50(3) как подгруппу. Исключая интегралы центра масс и кинетического момента, можно привести эту систему с 9 степенями свободы к системе с 4 степенями свободы, т. е. понизить размерность фазового пространства с 18 до 8. Используя вдобавок сохранение энергии, получаем векторное поле на семимерном многообразии. [c.72] Примером такого многообразия является кокасательное расслоение М = многообразия ТУ с естественной 1-формой. [c.73] Это обобщает тот факт, что вектор кинетического момента есть интеграл. Доказательство вышеприведенного утверждения проводится напрямик (см. [17]). [c.74] Это и есть присоединенное представление С. Индуцированное отображение Ад g ) на Л, дуальном к Л, называется коприсоединенным представлением. [c.75] Мы можем отождествить Л с Д, представляя любой линейный функционал на Д в виде 1г АВ), где Б Е Д. Таким образом, мы сможем отождествить присоединенное и коприсоединенное представление. [c.75] В этом случае орбиты 0(/х) — матрицы, подобные /х. Если /х имеет различные собственные числа, то орбита состоит в точности из изоспектральных матриц. [c.75] Это подмножество М с фиксированными значениями интегралов. В примере 2 оно состоит из тех положений, для которых вектор кинетического момента фиксирован. На этом множестве действует группа Од, которая в данном примере состоит из вращений, оставляющих вектор кинетического момента // на месте. [c.76] Если /X О, это — одномерная группа вращений Б0 2). Исключая этот угол поворота, мы рассмотрим фактор-пространство что соответствует игнорированию циклической координаты — угла поворота. [c.76] Подведем итог если гамильтониан Н инвариантен относительно действия группы ipg, то (при соответствующих предположениях) фазовое пространство может быть редуцировано к М = 0 (/х)/С д, которое представляет собой симплектическое многообразрю, а приведенный гамильтониан Н определяется ограничением Н. [c.77] Мы не будем уточнять необходимых предположений, поскольку их выполнимость в примерах, которые мы будем рассматривать, может быть легко установлена. [c.77] Вернуться к основной статье