ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Интегрируемая система основные факты и примеры из "Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория" Нз определения легко вытекает, что векторные поля коммутируют между собой. [c.64] Таким образом, если 1, 2,. .., находятся в инволюции, то то же самое можно сказать про любые функции от них. [c.64] Локально около любой точки, где с1Н ф О, любая система интегрируема действительно, в соответствующих канонических координатах Н совпадает с у1, что является частным случаем примера 2. [c.65] В общем случае имеет смысл говорить об интегрируемости системы в области, инвариантной под действием потока, порожденного Хн. [c.65] Глобальная интегрируемость гамильтоновой системы в инвариантном открытом подмножестве или даже локальная в окрестности стационарной точки (т.е. там, где (1Н = 0) является уже далеко не типичной ситуацией. Однако многие системы, встречающиеся в приложениях, очень близки к интегрируемым. Например, задача п тел становится интегрируемой в пределе, когда все массы, кроме одной, стремятся к нулю. Получившаяся система представляет собой набор независимых кеплеровых систем. [c.65] По теореме Биркгофа локально можно аппроксимировать эту систему интегрируемыми в следующем смысле (см. [3], [4]). [c.65] С другой стороны, можно показать, что в общем случае, даже если а1, а2,. .., п рационально независимы, система не является интегрируемой ни в какой окрестности начала координат. [c.66] Эти многообразия инвариантны не только относительно потока Хн (в силу первого условия в определении 1), но и Хр (в силу второго условия). Таким образом, Хр ,. .., Хр порождают касательное пространство Так как эти векторные поля коммутируют, каждая компонента топологически представляет собой цилиндр или, в компактном случае, тор. В последнем случае В расслаивается на п-мерные торы. [c.66] По теореме, принадлежащей Арнольду ([1], [2]) и Иосту, около компактной компоненты можно ввести канонические координаты, назовем их снова ж, у, так, что Н = Н у1,. .., уп) равенство у = О определяет а точки (ж, у), (ж, у), для которых Xj — Xj кратны 2тг, соответствуют одной и той же точке из В. Эти хи называются переменными действие-угол соответственно. Другими словами, пример 2 является типичным. [c.66] Таким образом, для интегрируемых систем периодические решения образуют (п — 1)-мерные семейства. Доказательство того, что гамильтоновы системы обычно неинтегрируемы, основано на том факте, что в общем случае периодические решения на поверхности фиксированной энергии изолированы. [c.67] Вернуться к основной статье