ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Течения, близкие к плоским. Вариационные принципы. Течения в узких слоях. Задачи со свободной границей. Две задачи Струи из "Проблемы гидродинамики и их математические модели" Любое решение спстемы (1), правильное в бесконечности, представляется в окрестности бесконечности рядом по этим степени.4 . [c.202] Все векторы поля направлены к началу координат, а величина вектора убывает обратно пропорционально квадрату расстояния R до начала, следовательно, это — поле точечного источника, располол енного в начале (точнее —стока). [c.203] Точно так же другие отрицательные степени Z- трактуются как комплексные потенциалы полей мультиполей, которые получаются слиянием диполей (квадруполей), слиянием квадру-полей и т. д. [c.204] При соблюдении этого условия уравнение 1) ( / ) = О, где определена фор.мулой (13), распадается на г = О и уравнение профиля обтекаемого тела вращения. Очевидно, что это тело содержит множество Е. [c.205] Можно обратить задачу — задаться формой профиля тела вращения и искать распределение источников на оси вращения так, чтобы создаваемое этими источниками течение обтекало заданное тело. Для решения такой задачи можно также воспользоваться формулой (13). На этот раз в ней нужно считать известной функцию г = г х) (уравнение профиля обтекаемого тела), и тогда ф(л , г) = 0 вместе с условием (14) будет интегральным уравнением относительно неизвестной плотности распределения источников (1). [c.206] С ОСЬЮ симметрии течения) сводится к квазиконформному по системе (1) отображению на полуплоскость j 0 области, которая получается из полуплоскости г 0 выбрасыванием меридианного сечения тела. При этом бесконечные точки должны соответствовать друг другу и нужно задать величину скорости в бесконечности. [c.207] Узкие трубы. Для прикидочных подсчетов и приближенного решения ряда гидродинамических задач весьма полезны приближенные выражения скорости течения в узких трубах и в узких слоях между соосными поверхностями вращения. Эти выражения получаются примерно так же, как в плоском случае. Мы остановимся на случае течений в трубах. [c.207] Гармонические функции в пространстве хорошо изучены и обладают многими свойствами, аналогичными свойствам гармонических функций двух переменных. Однако в пространстве нет понятия сопряженности гармонических функций, которое связывало бы потенциал с функцией тока, как на плоскости. Хотелось бы наряду с потенциалом скоростей ф(л , у, г) иметь еще две функции 1 х,у,г) и 1)2(л , г) —гармонические или удовлетворяющие другим простым уравнениям, такие, что поверхности уровня 1)51 Сь г1з2 = псрбсекаются по линиям тока течения, причем три семейства поверхностей ф = с, г] = Сь 1132 = С2 взаимно ортогональны. К сожалению, таких функций тока построить в общем случае не удается. [c.210] Только очень немногие пространственные задачи решаются до конца в элементарных или специальных функциях. Поэтому классические методы почти ничего не дают для рещения таких задач и пространственная гидродинамика осталась еще очень мало разработанной. Между тем, именно в этой области можно надеяться на существенные продвил ения, если широко пользоваться, с одной стороны, вычислительными машинами и с другой—новыми методами, основанными на локальном изучении явлений в отдельных зонах и склейке полученных при этом-решений в соседних зонах. [c.211] Линейными комбинациями гармонических многочленов можно с любой точностью приблизить в произвольной ограниченной области О со связным дополнением любую функцию ф, гармоническую в окрестности О теорема Рунге). [c.211] Рассмотрим теперь примеры сочетания этих элементарных рещений. [c.212] С коэффициентами, определяемыми по формулам (6). Мы рассмотрим рещение асимптотической задачи Коши для этого уравнения при д - —оо, где /г, О а к . а, — некоторая постоянная. [c.213] Здесь мы рассмотрим несколько вопросов, не связанных непосредственно с определенными гидродинамическими задачами, но относящихся к ситуациям, близким к тем, которые встречаются в пространственных задачах гидродинамики. [c.215] В форме бесконечного хребта — цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными течению (рис. 72,6). При продавливании такого вида все линии тока поднимутся, входя в сузившийся проход над хребтом, а скорость на второй плоскости всюду возрастет. [c.216] Математически нарушение вариационного принципа в пространственных задачах связано с тем, что здесь поверхности, образованные линиями тока, вообще говоря, не являются поверхностями уровня гармонических функций. А для поверхностей уровня гармонических функций вариационный принцип остается справедливым в следующей форме. Пусть О — область типа пространственного слоя, которая ограничена поверхностями Го г = го х,у) и Г г = г х,у), где 2о и 2 —гладкие функции, определенные во всей плоскости, и всюду 2о х,у) ,г х,у). Через В мы обозначим такую же область, ограниченную поверхностями Го г = го х,у) и Г г = = г х,у), а через и и й — гармонические в О я соответственно в О функции, непрерывные в замыкании этих областей, которые на Го принимают значение О, а на Г и Г равны 1. Через Г и Г(, где О / 1, соответственно обозначим поверхности уровня и х,у,г) = 1 и й х, у, г)= I. [c.216] При этом соприкосновение Г( и Гг при О 1 и достижение знаков равенства возможно лишь при совпадении О я В. [c.216] Узкие слои. Рассмотрим область О, удовлетворяющую сформулированным выше условиям, и кроме того, предположим, что для любой точки Qo е Го отрезок = QoQ нормали к Го, лежащий в О, заключен в пределах Мк, М к, где N и М — фиксированные постоянные, а к — малая величина. Будем еще считать, что производные функций 2о(х, / и 2(х,у) до третьего порядка во всех точках имеют тот же порядок к. [c.217] Для таких узких слоев можно дать формулу, обобщающую на пространственный случай формулу для растяжения при конформном отображении узких полос (см. цитированную выше работу М. А. Лаврентьева [6]). Эта формула дает приближенное выражение нормальной производной гармонической в слое функции и, которая на Го принимает значение О, а на Г равна постоянной Н. [c.217] Вернуться к основной статье