ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Задача о сопле. Сверхзвуковые включения. Задача о склейке Плоские задачи из "Проблемы гидродинамики и их математические модели" Области типа полуплоскости. Тем не менее, области, которые одинаково расположены относительно характеристик, оказывается возможным /г-конформно отображать друг на друга. Рассмотрим, например, задачу об отображении на полуплоскость области О типа полуплоскости, ограниченной гладкой кривой V = у = у(х) , для которой всюду у х) 1, причем равенство может достигаться лишь в изолированных точках (условие одинаковости расположения относительно характеристик) и, кроме того, Г при оо ни с одной стороны не приближается асимптотически к характеристикам. [c.129] Мы докажем сейчас, что такую область можно /г-конформно отобразить на верхнюю полуплоскость, и притом бесчисленным множеством способов именно можно еще задать возрастающее и гладкое соответствие точек Г и действительной оси. [c.129] Поэтому соотношения ху — 2( иv), х — у — = 2i )i(m — и) можно однозначно обратить, и мы получим и + у = 2ф(х-f ), — о = 2я1з(гг — о), где ф и г ) — возрастающие гладкие функции, отображающие всю ось на всю ось. Легко видеть, что определенное при помощи этих функций по формуле (2) отображение и является искомым взаимно однозначным отображением D на полуплоскость и 0 с заданным соответствием границ. [c.130] Мы видим, что /i-конформные отображения (если они существуют) обладают гораздо большей неопределенностью, чем конформные — вместо соответствия трех граничных точек можно задавать соответствие всей границы. Однако можно указать естественные дополнительные условия, при которых число параметров, определяющих /i-конформное отображение, будет такое же, как для конформных отображений. [c.130] Тогда функция, отображающая D на и 0 , определяется с точностью до двух действительных параметров ) условием, что существует предел гиперболической производной / (г) = X + г Ух (см. гл. II) при х- —оо, независимый от пути, по которому точка Z = x- -iy удаляется в —оо. [c.130] Легко видеть, что условие существования предела при Х- — оо эквивалентно условию существования пределов производных ф и ф функций (5) при и — — ос. [c.130] Наше утверждение доказано. [c.131] Однако в случае, если касательная к Г имеет предел при —оо, Рис. 37. [c.131] Любую такую область О, границы которой не приближаются асимптотически к характеристикам, можно /г-конформно отобразить на полосу О у 1 , причем можно задать соответствие границ на некотором участке Го, зависящем от вида области О. [c.132] При меняющемся от Яо до Яь значения % 1) меняются от Я до Яг, поэтому тождество (8) позволяет продолжить ф на отрезок [Яь Я2] условия (9) обеспечивают непрерывность и гладкость такого продолжения. Теперь, меняя 1 на [Я1, Яг], мы таким же способом продолжаем ф на отрезок [Яг, Яз] и т. д. Если менять ХЦ) на отрезке [Яо, Я1], то I будет меняться на [Я-1, Яо] и тождество (8) позволит продолжить ф на этот последний отрезок. Меняя в нем Я(/), мы таким способом продолжим ф на [Я-2, Я-1] и т. д. [c.133] Эта задача, как и предыдущая, оказалась существенно более неопределенной, чем аналогичная задача для конформных отображений вместо одной действительной постоянной (у нас принята нормировка /( оо)== оо) она содержит произвол в задании отображения на целом отрезке. Но по-прежнему этот произвол можно снять, если наложить ограничения на асимптотическое поведение отображающей функции, которые сводятся к устранению излишних пульсаций в бесконечности. [c.133] Продолжая это рассуждение, мы строим последовательность точек Хп. [c.134] Влияние вариации границы. В предыдущей главе мы говорили о том, что влияние вариации границы отображаемой области на конформное отображение быстро (по экспоненте) убывает по мере удаления от места вариации. Этот эффект лежит в основе вариационных методов и вывода приближенных формул теории конформных отображений. Он присущ решениям не только системы Кошп — Римана, но и других систем эллиптического типа. [c.135] При таком отображении прообразы линий тока у = 0 будут выглядеть так, как показано на рис. 39. До первой характеристики х у = — а, выходящей из левой вершины треугольника (зона 1), и после второй X — у = а, выходящей из правой вершины (зоны VI), они будут прямыми, параллельными оси х, — в этих зонах влияние треугольника не сказывается то же будет в зонах II и III. В зонах же IV и V линии тока будут ломаными в них влияние границы без затухания распространяется в область. [c.136] Эффект распространения влияния границы внутрь области по характеристикам присущ системам гиперболического типа. [c.136] Величина Ут—максимально возможная для данного газа скорость. [c.137] Это — уравнение минимальных поверхностей, т. е. поверхностей, которые имеют наименьшую площадь среди всех поверхностей с данной границей (например, мыльных пленок, натянутых на данный контур). Ему посвящена обширная литература и оно поддается исследованию несколько легче, чем уравнение (3). Однако, во-первых, достигнутое упрощение формализма недостаточно и, во-вторых, модель Чаплыгина отражает лишь дозвуковые течения, перемена типа в ней невозможна. Построены и другие модели, о которых можно прочитать в книге Л. И. Седова [2]. [c.138] Мы введем эту модель, задав следующий фиктивный газовый режим для дозвуковых течений будем считать газ несжимаемым и положим расход равным скорости V, а для сверхзвуковых течений положим = = 1, т. е. [c.139] Сравнивая его с рис. 40, мы видим, что в окрестности звуковой скорости качественная картина зависимости сохранена. Правда, для очень больших скоростей характер модели иной—для нее максимальная скорость У,п = 00, а расход всегда остается большим 1. [c.139] Если функция ф ф onst, то в силу ее периодичности ф непременно обращается в нуль, меняя знак из формулы (16) предыдущего параграфа видно, что тем же свойством обладает и якобиан / отображения В этом случае величина скорости V не может иметь предела в бесконечности (течение пульсирует). Поэтому единственным решением, для которого существует предел скорости в бесконечности (пульсация отсутствует), будет рещение с ф = = onst, т. е. поступательное движение газа. [c.146] Вернуться к основной статье