ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Размерности, я-теорема. Автомодельность. Удар струи о плоскость. Сфера в вязкой жидкости. Диффузия вихревой нити Основной математический аппарат из "Проблемы гидродинамики и их математические модели" Система (1) — (2) уравнений с частными производными имеет еще весьма общий характер, и в силу этого ее применения ограничиваются сравнительно узким кругом задач гидродинамики. Более содержательные приложения мы получим, если наложим на рассматриваемые движения некоторые дополнительные условия. Перечислим несколько таких условий. [c.10] Величина а = rot V называется завихренностью и определяет угловую скорость вращения элементарного объема жидкости. Уравнение (4) есть, таким образом, условие отсутствия вращения. [c.11] Отсюда получается так называемый интеграл Коши — Лагранжа-. [c.12] Таким образом, задача полностью свелась к отысканию той гармонической функции, которая соответствует условиям задачи. Интеграл Бернулли является теперь конечным (а не дифференциальным) соотношением, которое связывает величину скорости с давлением потенциал и внешнего поля сил в обычных задачах известен. [c.12] Функции, связанные такими соотношениями, называются сопряженными гармоническими ). [c.14] Применение схемы плоского движения далеко не ограничивается плоскопараллельными полями скоростей — она применяется для приближенного описания существенно более общих ситуаций. Например, ей можно пользоваться при изучении обтекании крыла самолета на значительной части его длины (теория крыла бесконечного размаха), лишь у концов крыла эта схема перестает действовать и нуждается в уточнениях. [c.15] Таким образом, осесимметрические движения во многом аналогичны плоским. Из отмеченных выше двух преимуществ плоского движения первое сохраняется для них полностью, а второе только частично качественную теорию решений системы дифференциальных уравнений (20) построить удается довольно полно, а количественная теория далеко не так развита, как для решений системы (14), т. е. аналитических функций. [c.16] Движение с заданной завихренностью. Как мы видели, существование потенциала скоростей ф является следствием предположения об отсутствии завихренности, т. е. о том, что (О = rot V = 0. В силу известного тождества rotgradф = 0 справедливо и обратное — для потенциальных течений завихренность равна 0. [c.16] В приложениях вид этой зависимости обычно считается известным. [c.18] Если функция (о(я )) не линейна, то уравнение (26) также является нелинейным и в силу этого оно весьма трудно для исследования. В случае постоянной правой части это уравнение легко сводится к уравнению Лапласа (см. гл. V этой книги). [c.18] Заданная функция / должна в Во удовлетворять уравнению Лапласа, т. е. быть гармонической в Оо. [c.19] Дальнейшее движение определяется граничными условиями, которые задаются на границе Г области течения Ог для любого момента t многих задачах Г делится на три части (см. твердая неподвижная граница Г , подвижная граница Гг и свободная граница Гз. Выпишем граничные условия, которые соответствуют этим частям. [c.19] Такая простая формулировка граничных условий в плоских и осесимметрических задачах и составляет одно из тех двух упрощающих обстоятельств, о которых говорилось выше. [c.21] При движениях жидкости с большими скоростями, сравнимыми со скоростью распространения звука в этой жидкости, становится существенной ее сжимаемость. Плотность жидкости р уже не является постоянной и ее следует считать одной из искомых функций. Задача существенно усложняется, появляются принципиально новые явления, отсутствующие в случае несжимаемости. [c.21] Следует, однако, отметить, что в определенных условиях в сжимаемых жидкостях, в отличие от несжимаемых, даже при гладких начальных условиях могут образоваться так называемые сильные разрывы— по-вер хности, на которых гидродинамические величины (например, плотности и давления) меняются скачком. Из термодинамических соображений, а также из законов сохранения импульса и энергии следует, что при прохождении частицы через такой разрыв ее энтропия меняется скачком и изэнтропичность нарушается. При возникновении сильных разрывов перестает быть справедливой и теорема о сохранении циркуляции, в которой условие изэнтропичности является существенным. Таким образом, появление сильных разрывов нарушает наши упрощающие предположения. [c.23] Тем не менее класс изэнтропических потенциальных течений сжимаемой жидкости достаточно широк и часто встречается в приложениях. [c.23] Это соотношение можно рассматривать как интеграл Бернулли для идеального газа постоянная ро равна плотности неподвижного газа (при и=0), она, как и ит, зависит от свойств этого газа. [c.24] В систему (14) предыдущего параграфа, описывающую плоские движения несжимаемой жидкости. [c.25] Вернуться к основной статье