ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Центральная предельная теорема из "Стохастические процессы в физике и химии" Если Xi, X. ,. .., Хг--взаимно независимые гауссовы перемен-ны , то их сумма Y = Х - -Х -.. . + X, тоже является гауссовой, что сразу видно из формулы (1.4.4). Среднее значение и дисперсия У являются суммами средних и дисперсий переменных X. Это полностью определяет распределение V. [c.31] Упражнение. Найдите моменты распределения (1.6.3). [c.31] Упражнение. Докажите, что (1.6.3) стремится к б (л—ц ), когда стремится к нулю (умножьте на пробную функцию и проинтегрируйте). [c.31] Упражнение. Свойство двух независимых гауссовых переменных образовывать в сумме снова гауссову переменную не является уникальным. Докажите, что распределения Лоренца и Пуассона обладают аналогичным свойством. Упражнение. Докажите, что свертка двух гамма-распределений (1.5.5) с одним и тем же а тоже является гамма-распределением. [c.31] Индексы р, д, и, и те же самые, что I, к,. . ., но разбитые попарно, Суммирование распространяется на все возможные способы, которыми 1, /, к,. .. могут быть разбиты на пары. Множитель в (1.6.10) сокращается, потому что произведение в (1.6,10) содержит каждую пару дважды. [c.32] Для того чтобы вычислить интеграл, нет необходимости использовать ортогональное преобразование х можно использовать любое линейное преобразование, которое приводит матрицу А к диагональному виду. Выведите таким способом (1.6.7) и (1.6.8). [c.33] Упражнение. Кумулянты первого и второго порядков многомерного распреде-ления Гаусса определены соотношениями (1.6.9). Докажите, что все кумулянты более высокого порядка равны нулю. [c.33] Центральная предельная теорема утверждает, что если даже Рх ) не гауссовы, а какие-либо другие распределения с нулевыми средними и конечными дисперсиями ст , уравнение (1.7.1) остается справедливым в пределе г оо. На этом замечательном факте основана определяющая роль распределения Гаусса во всех областях статистики. [c.34] Когда г велико, это выражение определяет гладкую плотность вероятности которую и нужно определить. [c.35] Возникает вопрос как дискретное распределение вероятности можно аппрок -симировать непрерывным Ответ дает соотношение (1.7.5)—это описание, огрубленное по масштабам. Более точно (1.7.7) представляет собой вероятность найти У в интервале у, у + йу, когда А1/ 1. В то же время очевидно, что оно некорректно описывает вероятность, когда Дг/ 1. [c.35] Упражнение. Покажите, что результат (1.7.7) в действительности совпадает с полученным из центральной предельной теоремы. [c.36] Упражнение. Примените центральную предельную теорему к случайным блужданиям в 1.4, сравните с (1.4.8). Сравните результат с явным вычислением, как было проделано выше. [c.36] Упражнение. Покажите, что распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса при а — ос. [c.36] Упражнение. Верификацию, аналогичную проделанной выше, можно выполнить, когда X принимает значения О, 1 с вероятностями а, Р, где а + Р=1 (а не 1/2, 1/2) так что р задается (1.1.5) с 7 = а/Р (см., например [ , рр. 169ff]). Однако теперь мы перейдем к пределу М — - оо и одновременно устремим а к нулю, а —а Л, так что К =-а остается фиксированным. Покажите, что в этом П ч деле биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона. [c.36] Различные наборы строгих математических условий, при которых справедлива центральная предельная теорема, можно найти в учебниках. Однако тому, кто занимается физикой, важнее качественно понимать область ее применимости, с этой целью мы добавим несколько замечаний. [c.36] С другой стороны, необходимо минимальное условие гладкости характеристической функции С (к), а именно чтобы существовала вторая производная в начале координат. То, что такое условие нельзя игнорировать безнаказанно, было продемонстрировано с помощью распределения Лоренца. Если переменные X, независимы и имеют одно и то же распределение Лоренца, то их сумма У тоже имеет распределение Лоренца. Следовательно, оно не стремится к распределению Гаусса. [c.36] С другой стороны, последовательность переменных Ху, у которой среднее нарастает с / неограниченно, может привести к негауссовой полной сумме У соответствующий пример нетрудно построить. [c.36] В-третьих, легко видеть, что имеет важное значение условие независимости переменных X. Если в качестве всех г переменных взять одну и ту же величину X, результат будет не верен. С другой стороны, достаточно слабая зависимость переменных друг от друга является допустимой. Это видно из вывода распределения Максвелла по скоростям из микроканонического ансамбля для идеального газа (см. упражнение в 1.3). Микроканоническое распределение в фазовом пространстве является совместным распределением, которое не факторизуется, но в пределе г оо распределение скорости каждой молекулы гауссово. Эквивалентность различных ансамблей в статистической механике основана на этом факте. [c.37] Упражнение. Проверьте с помощью явных вычислений, что доказательство центральной предельной теоремы для лоренцевых переменных не справедливо, а ее результат не верен. [c.37] Вернуться к основной статье