ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Асимптотическое разложение решения уравнения из "Осреднение процессов в периодических средах" В предположении кусочной гладкости коэффициентов, согласования гладкости начальных и граничных условий доказана эквивалентность классической постановки и определения решения с помощью интегрального тождества [78]. В дальнейшем постановку задачи в виде интегрального тождества будем называть обобщенной. В случае, когда исходные данные не являются ку-сочно-гладкимп функциями (например, К х) — ограниченная, измеримая, положительная функция), классическая постановка задачи может быть лишена смысла в то же время обобщенная постановка остается содержательной для широких классов негладких, разрывных исходных данных. [c.27] По аналогии с тождеством (1) из классических постановок выводятся интегральные тождества для многомерных уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов. Б случае, когда начальные и граничные условия гладкие, сог.иасо-ванные, а коэффициенты этих уравнений являются гладкими функциями всюду вне некоторых (в — 1)-мерных гладких поверхностей, на которых коэффициенты имеют разрыв 1-го рода, классическая и обобщенная постановка эквивалентны. Строгие формулировки теорем о связи класси юской и обобщенной постановок читатель найдет в работах 151, 74, 76, 78—80, 104, 105]. [c.27] Можно дать другое определение обобщенного решения краевой задачи с разрывными данными (краевыми условиями и коэффициентами уравнений), а именно, рассматривая последовательность краевых задач с гладкими данными, сходящимися (в нужных нормах) к исходным данным. Если предел последовательности решений таких задач в нужной норме существует, то его называем обобщенным решением исходной задачи. Для широких классов линейных краевых задач доказана эквивалентность этих определений обобщенного решения. [c.27] Исходя из различных определений обобщенного решения, можно предложить различные подходы к построению и обоснованию процедуры осреднения в случае разрывных коэффициентов. [c.27] Один из возможных путей обоснования асимптотики, который ш иногда используем,— это подстановка асимптотического разложения в интегральное тождество и оценка погрешности через его невязку. [c.27] Мы предпочитаем следующую схему изложения материала производим осреднение задачи в предположении гладкости коэффициентов, распространяем получившуюся асимптотику на случай разрывных коэффициентов, учитывая условия сопряжения на поверхностях разрыва, производим ее обоснование с помощью аппарата априорных оценок. [c.28] Выше отмечалась возможность различных определений обобщенного решения задачи. В этом параграфе приводится общепринятое определение понятия обобщенного решения, которым мы и будем пользоваться в дальнейшем. [c.28] Функции и Чх) (г = 1. в) назовем обобщенными производными функции и и сохраним за ними обозначение ди дх1. [c.28] Для задачи (1), (4) справедливы три теоремы Фредгольма [76]. Сформулируем одну пз них. [c.31] Для задачи (8), (9), (4) справедлива следующая теорема. [c.32] Доказательство теоремы почти дословно повторяет доказательства теорем 3.1, 4.1 гл. III из [76]. [c.32] Теорема доказывается по аналогии с теоремами 3.1, 3.2 гл. IV из [76]. [c.33] По аналогии с теоремами 3.1, 3.2 гл. IV из [76], используя неравенство Корна [155], можно доказать следующую теорему. [c.34] Методом работ [74—80, 104, 105] можно сформулировать обобщенные постановки и для задач с граничными условиями 2-го, 3-го рода и другими типами условий. Вместо условия (4) можно потребовать -периодичности функции и по каждой из переменных Xj или по части из них (см. дополнение). Далее мы рассмат-риваеи, как правило, уравнения и системы уравнений с граничными условиями 1-го рода. Однако большинство изложенных методов и результатов переносятся на краевые задачи других типов. [c.35] При построении асимптотических разложений решений краевых задач возникают определенные трудности, связанные с учетом эффектов пограничного слоя (см. гл. 9). Чтобы не усложнять изложение рассмотрением этих тонких эффектов, часто рассматриваются уравнения во всем пространстве R при этом вместо граничных условий накладывается требование Г-периодичности решения по переменным Xi] здесь Т — число, не зависящее от е. Если эффективные и локальные характеристики среды определены правильно, то они должны совпадать с такими H e характеристиками для периодической задачи. [c.35] В настоящей главе вводятся определения асимптотического разложения функции, операции над асимптотическими рядами и рассматриваются простейшие примеры применения методов асимптотических разложений к задаче осреднения процессов в периодических средах. Большое число модельных примеров применения асимптотических методов для исследования задач механики рассмотрено в [101, 103]. [c.36] Заметим, что эти ряды не обязательно сходятся. [c.37] По аналогии с п. 4 можно ввести операции над двойными асимптотическими рядами. [c.38] Если Z/e — линейный оператор, а для задачи (2) имеет место априорная оценка м llsig je /, где с, О, Сг — константы, не зависящие от е, то из (3) следует, что для любого натурального N найдется такой номер М, что для всех т М м( ) — = О(е ), в I О, а следовательно, ф. а. р. м является а.р. точного решения задачи гг гг °° . [c.38] Аналогично определяется ф. а. р. задачи Z/ . vJi — f, е i О, ц I 0. [c.38] Вернуться к основной статье