ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Что такое асимптотический метод осреднения из "Осреднение процессов в периодических средах" Медленные переменные соответствуют глобальной структуре полей, а быстрые — их локальной структуре. Такой ряд подставляется в исходную систему уравнений и приводятся подобные по степеням г члены. Приравнивая нулю коэффициенты при степенях 6, получаем уравнения относительно функций Часто оказывается, что функция щ и коэффициенты уравнения относительно Ко не зависят от быстрых переменных. Это уравнение будем называть осредненным. Численное решение осредненной задачи существенно менее трудоемко, нежели исходной. Всюду, за исключением гл. 9, где рассматриваются граничные эффекты, ц предполагаются 1-периодическими функциями переменных . [c.16] Здесь и далее термин Т-периодичность означает периодичность с периодом Т по указываемым переменным если же период Т или такие переменные не оговариваются специально, то имеется в виду периодичность по всем с периодом 1. [c.16] Считая формально х ж % независимыми переменными, будем рассматривать соотношения (4 ) при = 0, 1, 2 как рекуррентную цепочку дифференциальных по уравнений с неизвестной функцией Ui(x, ). При этом х — параметр уравнений (4). [c.17] Как в одномерном, так и в многомерном случаях будем употреблять обозначение среднего по периоду. [c.17] Таким образом, О = К Ч%) С(х) следовательно, С(х)=0, 5но/5 = 0, ) не зависит от , т. е. [c.18] Поскольку это уравнение является следствием (4г), то оно представляет собой необходимое условие разрешимости уравнения (4г) в классе 1-периодических по функций. В гл. 2 будет доказано, что условие (10) является и достаточным. [c.19] Таким образом, если исходный неоднородный стержень заменить однородным с постоянной эффективной характеристикой К, то свойства этого стержня будут в некотором смысле близки к свойствам исходного. Формула (7), определяющая эффективный коэффициент К, является одномерным аналогом соотношений (3.6), (3.11). Более строго близость исходной и осредненной моделей исследуется ниже. [c.19] Если продолжать далее разложение (2) по степеням б, то можно получить функцию, удовлетворяющую уравнению (1) с точностью до любого вперед заданного порядка Соответствующее построение приводится в 2.3. Как будет показано в гл. 2, полученное выше приближение к решению имеет смысл и в случае разрывного коэффициента К %). [c.19] Оказывается, что при / = 0 два члена асимптотического разложения Voix) + гщ(х,%), = х/г, дают приближение, совпадающее с точным решением (1) (при соответствующим образом выбранных граничных условиях для Vi и щ, см. 2.4). [c.20] Замечание 1. Как правило, в книге предполагается, что входные данные задачи граничные (начальные) условия, правые части, коэффициенты бесконечно дифференцируемы по переменным х , t. В действительности для получения асимптотик заданного порядка точности по е достаточно предположения о существовании производных некоторого конечного порядка. [c.20] Замечание 2. Мы предполагаем также, что коэффициенты уравнения кусочно-гладкие, бесконечно дифференцируемые по переменным вне поверхностей разрыва. В действительности в большинстве случаев достаточно [8, 53, 54, 1881 лишь измеримости коэффициентов по переменным Однако рассмотрение вопроса при столь слабых предположениях оказывается менее наглядным. [c.20] Замечание 3. В реальных задачах, как правило, правая часть уравнений / или тождественно равна нулю, или быстро осциллирует, т. е. имеет вид / = /(а ,,. .х i,. . Jls=x/e, функция / — 1-периодическая по переменным Для упрощения изложения мы часто рассматриваем случай / = /(х), когда правая часть не зависит от быстрых переменных В случае / = = f x, )li==x/e осредненные уравнения нулевого порядка получаются такими же, но в правой части вместо / они содержат iflx, ) . Для Г-периодических задач этот факт можно усмотреть из общей схемы осреднения из 5.1. Случай краевых задач в областях простейшего вида рассмотрен в [112]. [c.21] Вернуться к основной статье