ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Строение эллиптического пучка из "Инверсия" Теорема I. Всякий эллиптический пучок Р, не являющийся простейшим, представляет собой совокупность всех окружностей, проходящих через некоторые две фиксированные точки. [c.46] Доказательство. Так как Р—эллиптический пучок, то существуют простейший эллиптический пучок Р и инверсия ф (см. теорему 2 7), переводящая пучок Р в пучок Р. [c.46] Р представляет собой совокупность прямых, проходящих через некоторую точку В (рис. 53). Обозначим через А центр инверсии ф. Точки А и В различны в противном случае инверсия ф переводила бы пучок Р сам на себя, а не в пучок Р (напоминаем, что пучок Р не простейший и, следовательно, отличен от Р ). Так как образ пучка Р относительно инверсии ф есть совокупность окружностей, проходящих через точки А и В=(р(В ), то теорема доказана. [c.46] Следствие 1. Точки А и В суть узловые точки пучка Р. [c.46] Если одна из узловых точек пучка бесконечно удаленная, то эллиптический пучок превращается в простейший. [c.47] Следствие 2. Пусть А и В — узловые точки пучка Р. Тогда прямая А В является элементом пучка Р. [c.47] Если А VI В — обыкновенные точки, то прямая АВ является единственной прямой в пучке Р (все его другие элементы суть окружности). Легко видеть, что прямая АВ является радикальной осью для любой пары окружностей пучка Р. Поэтому прямую АВ называют радикальной осью пучка Р. [c.47] Таким образом, непростейший эллиптический пучок представляет собой совокупность всех настоящих окружностей, проходящих через две фиксированные точки, и общей радикальной оси всех пар окружностей, взятых из этой совокупности. Как мы отмечали, эта радикальная ось проходит через узловые точки эллиптического пучка. [c.47] Если же одна из точек Л и В, например А, бесконечно удаленная, то пучок Р состоит из всех прямых, проходящих через точку В. В этом случае особое положение прямой АВ исчезает и, следовательно, для простейшего эллиптического пучка понятие радикальной оси теряет смысл. Таким образом, наличие в эллиптическом пучке единственной прямой является необходимым и достаточным условием отличия этого пучка от простейшего. [c.47] Вернуться к основной статье