ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Стереографическая проекция. Бесконечно удаленная точка плоскости из "Инверсия" Понятие преобразования, рассмотренное в 1 для случая плоскости, очевидным образом переносится на случай любых геометрических фигур. Действительно, сопоставляя по определенному закону каждой точке X фигуры М некоторую точку X другой фигуры Ы, получаем преобразование ф фигуры М в фигуру N. Если при этом образ фигуры М покрывает всю фигуру М, то говорят, что ф есть преобразование М на N. [c.11] Для изучения преобразования инверсии весьма полезно рассмотреть предварительно одно специальное преобразование сферы на плоскость. Это преобразование называется стереографической проекцией и состоит в следующем пусть К — сфера и Р—плоскость, касающаяся К в точке 5 (рис. 13). Точку 5 будем называть южным полюсом К, а диаметрально противоположную ей точку N — северным полюсом. Пусть X — произвольная точка сферы К, отличная от точки N. Тогда луч МХ пересекает плоскость Р в некоторой точке X (рис. 13). Преобразование, относящее каждой точке X сферы К, отличной от точки N, точку пересечения X плоскости Р с лучом ЫХ, и называется стереографической проекцией. Очевидно, что при этом покрывается вся плоскость Р. Итак, стереографическая проекция преобразует сферу К с исключенной точкой N на всю плоскость Р. [c.11] Отсюда видно, что когда точка X неограниченно приближается к точке N NX- 0), то длина отрезка Х 8 неограниченно возрастает и точка X неограниченно удаляется от точки 5. Следовательно, точке N при стереографической проекции нельзя сопоставить никакой точки плоскости Р. Для того чтобы распространить стереографическую проекцию на всю сферу К, т. е. чтобы для северного полюса N был определен образ на плоскости Р, необходимо пополнить плоскость Р новой точкой, к точкам плоскости Р, которые мы ниже иногда будем называть обыкновенными, добавляется новая точка 0 , которую мы будем называть бесконечно удаленной. Далее на протяжении всей книги мы будем считать, что плоскость Р всегда пополнена бесконечно удаленной точкой 0 . Сопоставляя теперь северному полюсу N сферы К точку 0 , получим, что стереографическая проекция преобразует сферу К на плоскость Р. [c.12] Как мы знаем, положение окружности на плоскости полностью определяется любой тройкой ее точек, не лежащих на одной прямой. Положение прямой на плоскости также определяется тройкой ее точек, из которых две могут быть выбраны произвольно, а третья обязательно является бесконечно удаленной. Поэтому на прямую можно смотреть как на окружность, проходящую через бесконечно удаленную точку. [c.13] Вернуться к основной статье