ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Скалярная форма из "Механическое поведение полимерных материалов" Основой линейной теории, описывающей механическое поведение полимерных материалов (линейная теория вязкоупругости), служит принцип наложения (суперпозиции), высказанный впервые Больцманом [12]. Известны различные формулировки физического принципа наложения так, например, можно принять следующий вид если в теле существует система напряжений, то общая деформация тела равна сумме деформаций, вызываемых каждым напряжением отдельно. Подобным же образом формулируется принцип наложения, когда задана система деформаций или более общая система, состоящая из напряжений и деформаций. [c.68] Отсюда получается основное условие, которому удовлетворяют линейные уравнения (дифференциальные, интегральные и др.), сумма частных решений уравнения есть также решение уравнения. [c.68] Дадим теперь математическое выражение принципа наложения. Ввиду большой важности этого принципа приведем различные выводы основных уравнений. [c.68] На основе принципа наложения общую деформацию полимерного материала можно считать суммой трех деформаций мгновенной упругой деформации, запаздывающей упругой деформации и необратимой деформации (вязкого течения). [c.68] Так как деформация величина безразмерная, то мгновенная податливость имеет размерность, обратную размерности напряжения. [c.68] Г Необратимая деформация в момент i т имеет приращение, пропорциональное времени, прошедшему после приложения напряжения, т. е. [c.69] Подобным же образом выводится основное уравнение принципа суперпозиции для заданной деформации. Общее напряжение считаем равным сумме двух напряжений равновесного напряжения и напряжения, изменяющегося во времени (релаксирующего). [c.70] Уравнения (2.5) и (2.7) представляют математическую формулировку принципа наложения. [c.71] Дадим еще один вывод основных уравнений принципа суперпозиции. Пусть в некоторый момент времени т в теле создана деформация е (т), которая остается постоянной в течение достаточно малого промежутка времени Ат, а затем снимается. Как показано в предыдущей главе, при мгновенном снятии деформации в теле возникает напряжение, противоположное по знаку первоначально приложенному напряжению, вызвавшему рассматриваемую деформацию. Это напряжение с течением времени убывает. [c.71] Таким образом уравнение (2.5) приведено к виду уравнения (2.9). [c.73] Знак минус нужно взять потому, что функция релаксации г з (О монотонно убывающая и, следовательно, производная гр 1) будет отрицательной функцией. Таким образом уравнение (2.7) тоже приведено к виду уравнения (2.8). [c.73] как и следовало ожидать, уравнение простой модели Максвелла. [c.75] Приведенные выводы основных уравнений принципа наложения основаны на предположении, что существует мгновенная упругая деформация. Уже упоминалось, что мгновенная деформация это абстракция. В реальных телах деформация и напряжение рз( пространяются с конечной скоростью, равной скорости распространения звука в данном материале. Когда скорость приложения деформации или напряжения становится соизмеримой со скоростью распространения, уже нельзя говорить о мгновенной деформации, а следует считать эту деформацию запаздывающей. [c.75] Кроме того, МОЖНО положить т)о = О, если функция релаксации удовлетворяет условию г (0) = оо. Конечно, коэффициент т)о не следует рассматривать как обычный коэффициент, так как значение его остается неопределенным. [c.75] Таким образом, колебания с комплексной частотой можно рассматривать как гармонические колебания с переменной амплитудой. Амплитуда В (О будет монотонно убывающей функцией времени, если 1тсо О, и монотонно возрастающей функцией времени, если 1тю 0. [c.77] Уравнения (2.21), (2.22), (2.23) и (2.24) — это математическая формулировка принципа наложения для гармонически изменяющихся напряжений и деформаций с монотонно изменяющимися амплитудами. Таким образом, напряжение или деформация могут быть любой функцией, предсхавимой двусторонним преобразованием Лапласа. Приведенная математическая форма принципа наложения, видимо, впервые дана в работе [13]. [c.77] Вернуться к основной статье