ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Квазистатические испытания полимеров на растяжение и математическое описание получаемых результатов из "Конструкционные полимеры Книга 1" В первой главе отмечалась простота проведения эксперимента в одномерном случае по сравнению со случаями сложного напряженного состояния. В связи с этим обстоятельством, а также в связи с практической важностью целого ряда задач, где оказывается возможным ограничить рассмотрение одной только компонентой напряжения а и одной компонентой деформации е, одномерные механические испытания получили значительно более широкое распространение, чем испытания при сложном напряженном состоянии. [c.164] В 6 первой главы были затронуты вопросы феноменологического описания линейных вязко-упругих сред наследственного типа. В частности, линейные вязко-упругие свойства полностью определялись заданием, например функции ползучести I t) или функции релаксации E t) в достаточно широком интервале времени (от t = Q до i=oo). Вместо фуикций I(t) или E(t) могут быть введены другие функции, например ядра интегральных уравнений Вольтерра (см. формулы (6.20) и (6.22) гл. I). [c.164] Там же были освещены методы описания линейных вязко-упругих свойств с помощью механических моделей, содержащих группы Фойгта, соединенные последовательно друг с другом, а также с упругим и вязким элементами, или группы Максвелла, соединенные параллельно. Если число таких групп конечно, то мы имеем дискретный спектр времен упругого последействия или времен релаксации. Дискретный спектр времен релаксации представляет собой набор времен релаксации причем с каждым временем релаксации связан определенный модуль Ei, изображаемый упругим элементом группы, имеющей номер L Для сплошного спектра или полосатого число времен релаксации бесконечно велико и вместо дискретных модулей Е вводят функцию распределения времен релаксации E tr) или (lnir), так что dE=Е (tr)dtr представляет собой вклад в величину модуля групп Максвелла, имеющих времена запаздывания от U до U+dtr. [c.164] Еще два метода описания линейных вязко-упругих свойств связаны с определениями динамической податливости I и динамического модуля Е. Последние величины определяются из опытов, проводимых при переменных напряжениях а и деформациях 8, когда а и е изменяются с течением времени по синусоидальному закону. У вязко-упругих тел деформация в общем случае отстает по фазе от приложенного напряжения. [c.164] Как отмечалось выше при определениях / (со) и (ш), эти функции есть комплексные величины и содержат действительные и мнимые части. Для определения вязко-упругих свойств материала достаточно знать одну из этих четырех функций со (кроме того, необходимо иметь константы, определяющую упругость материала и его вязкость, если при деформировании материала проявляются упругие и вязкие деформации). Если, например, известна мнимая часть комплексного модуля упругости во всем диапазоне частот от О до оо, то по этим данным можно определить и действительную часть В как функцию и [105]. [c.165] Каждый из перечисленных методов удобен для решения определенного круга задач. При этом для большей универсальности методов феноменологического описания линейных вязко-упругих тел необходимо владеть приемами перехода от одного способа описания свойств материала к другому. Наиболее полный обзор соответствующих методов приведен в монографии Гросса [105]. На рис. 3.1 представлена схема описания линейных вязко-упругих свойств материалов и методов перехода между ними, взятая из указанной монографии. [c.165] На рис. 3.1 римская цифра I обозначает функцию комплексной податливости / (ю), II —функцию комплексного модуля (со), III — функцию ползучести I t), IV — функцию релаксации E t), V — функцию распределения времен упругого последействия, VI — функцию распределения времен релаксации. Буква а обозначает интегрирование по Стилыьесу, Ь — алгебраическую формулу обращения в комплексных переменных, с — преобразование Фурье, d — преобразование Лапласа, е — алгебраические уравнения, f — интегральные уравнения Вольтерра, g — интегральные преобразования. [c.165] Здесь нет возможности останавливаться на затрагиваемых вопросах более подробно, эти вопросы изложены кроме упомянутой книги Гросса также в книге Бленда ([129] к гл. I) и в книге Гольберга [9]. Ряд задач, связанных с установлением соотношений между различными способами описания линейных вязко-упругих свойств материалов, решен Шермергером [10, И]. [c.166] На схеме, представленной на рис. 3.1, не приведены зависимости, которые можно получить на основании машинных испытаний, при проведении которых снимаются диаграммы а е. Для линейного вязко-упругого тела зависимости такого типа получаются довольно просто. [c.166] Зависимости (2.2) — (2.4) были получены, по-видимому, Смитом [12, 13], исходившим при их выводе из функций распределения времен релаксации (или соответственно времен упругого последействия) вывод их, аналогичный проведенному Смитом, содержится также в работе Чанга [14]. Экспериментальная проверка зависимостей (2.4) и (2.5) содержится в цитированных работах Смита и Чанга. [c.167] Описания I и II могут быть получены одно из другого с помощью формул (2.2) и (2.3), описания V и VI —с помощью формул (2.4) и (2.5). Ядро ползучести III есть производная dl i)jdt, наоборот из III податливость II может быть получена как интеграл ядра ползучести (с учетом величины мгновенной податливости). Аналогичные переходы осуществляются и между функциями IV и V. Переход от функции III к IV и обратно (а так же, как показал Гросс, и переход от II к V и обратно) осуществляется в результате решения линейного интегрального уравнения Вольтерра. [c.167] Теория интегральных уравнений Вольтерра и методы их рещения изложены в [15—17]. Основные методы решения уравнений Вольтерра (или нахождения резольвентных ядер) использование преобразования Лапласа, метод последовательных приближений, нахождение итерированных ядер. [c.167] Если материал обладает одинаковыми свойствами при растяжении и сжатии, то в сумме правой части соотношения (2.6) четные члены должны отсутствовать. При этом функция / (о) должна быть нечетной функцией и при разложении ее в степенной ряд по формуле Тейлора в этом ряду должны сохраняться лишь члены нечетных степеней. [c.168] В самом деле, при а==0 вплоть до t—0 и a= onst при в качестве нижнего предела интегралов уравнения (2.8) можно брать t=0, а напряжения ст(тг) вынести за знаки интегралов. [c.168] Соотношение, аналогичное (2.14), может быть получено для кривых релаксации, аналогичное (2.13) — для диаграмм о е при е= onst. [c.169] Отсюда понятны попытки некоторых авторов использовать для описания релаксационных свойств полимеров нелинейные интегральные уравнения Вольтерра, содержащие лишь один интеграл. Такие попытки были предприняты, в частности, Лидерманом [19], Розовским [20]. Более общее соотношение было получено Персо [21]. Оно основано на нелинейном принципе суперпозиции, обобщающем принцип Больцмана — Вольтерра. [c.170] Проводя аналогичные рассуждения, мы можем получить урав- нение, представляющее собой обр ащение соотношения (2.17), т. е. [c.170] Автор статьи [21], цитируя оригинальную работу Больцмана, отмечает, что Больцман допускал возможность существования нелинейной зависимости наследственного типа в форме (2.15). Поэтому нелинейный принцип, определяемый зависимостью типа (2.15), назовем принципом Больцмана — Персо. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра типа (2.16) и (2.17) приведены в книге Трикоми [16], резольвенты строятся методом последовательных приближений. [c.170] Уравнения линейной и нелинейной теорий наследственности с разностными ядрами типа уравнений (6.20) и (6.22), приведенных в первой главе, и уравнений (2.8), (2.16) и (2.17), приведенных в настоящей главе, удовлетворяются для пластмасс не совсем точно, так как свойства пластмасс с течением времени меняются. [c.170] Вернуться к основной статье