ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Нестационарное температурное поле в полуограниченном массиве из "Тепломассообмен Изд3" Напомним, что нестационарная теплопроводность — это такой процесс переноса теплоты в теле, при котором температура изменяется с течением времени. Приведем несколько примеров встречающихся на практике нестационарных процессов теплопроводности. [c.90] Нагревание или охлаждение тел в среде с постоянной температурой (термообработка изделий, заготовок и продуктов питания, отжиг кирпича, производство стекла и др.) характеризуется скачкообразным изменением температуры среды, окружающей тело, причем самопроизвольный процесс распространения теплоты в теле происходит здесь до тех пор, пока температура во всех его точках не станет равной температуре среды. [c.90] Переход от одного стационарного температурного поля к другому стационарному вследствие изменения температуры окружающей среды наблюдается при переходных режимах работы тепломассообменных устройств, в частности, во время их пуска и останова. [c.90] Еще одним примером нестационарного процесса теплопроводности является периодическое изменение температуры в каждой точке тела из-за колебания температуры окружающей среды. [c.90] Во всех этих примерах для нахождения нестационарного температурного поля в теле служит дифференциальное уравнение теплопроводности, а отличие одного случая от другого характеризуется начальными и граничными условиями. Для решения задачи используются методы решений уравнений с частными производными, причем сложность решения зависит от геометрических, физических, начальных и граничных условий. Эти методы (метод Фурье, метод собственных функций, метод Дюамеля, метод преобразования Лапласа и др.) подробно рассматриваются в [5, 13, 23]. [c.90] Можно отметить, что проще всего решаются задачи нахождения одномерного температурного поля (безграничная пластина, бесконечно длинный цилиндр, шар) при постоянных физических свойствах, постоянном коэффициенте теплоотдачи и отсутствии теплообмена излучением. Именно такие задачи будут рассматриваться в этой главе. Результаты, которые при этом будут получены, с одной стороны, имеют самостоятельное практическое значение, а с другой — позволяют достаточно просто выяснить основные закономерности, присущие также нестационарным процессам теплопроводности в телах более сложной геометрической формы. [c.90] Обратим внимание на то, что как начальное, так и граничные условия справедливы для симметричных относительно середины (оси) пластины областей. Значит решение должно быть симметричной функцией, поэтому достаточно рассмотреть решение только в области О х 5. Симметрия температурного поля имеет следствием равенство нулю производной температуры по X на оси (х = 0). При х = 5 задано граничное условие третьего рода. [c.91] Метод Фурье. Сформулированную задачу можно решить методом Фурье. Этот метод называется также методом разделения переменных. Сущность его состоит в том, что частные решения отыскиваются в виде произведений двух функций, каждая из которых зависит от одного аргумента. Общее решение находится в виде суммы этих решений. Произвольные постоянные, появляющиеся в ходе решения, определяются из начального и граничных условий. Представление общего решения в виде суммы частных вытекает из линейности и однородности самого уравнения и граничных условий. При этом, если некоторые функции удовлетворяют уравнению (3.5) и условиям (3.7) и (3.8), то и любая их линейная комбинация также удовлетворяет им. [c.92] Значения первых шести корней приведены в табл. 3.1. [c.93] Прежде всего отметим, что решение нашей задачи оказалось представленным в безразмерном виде. И это не случайно. Дело в том, что решение любой задачи, соответствующей какому-либо физическому явлению, всегда можно преобразовать так, чтобы оно было безразмерным. Объясняется это тем, что физические явления от выбора системы единиц не зависят, поэтому если в математическом описании явлений есть размерные величины, то они обязательно должны сгруппироваться в безразмерные комплексы. [c.96] Рассмотрим теперь частные случае решения (3.25). [c.97] Анализ показывает, что условие Bi - О практически выполняется, если Bi 0,1. [c.97] Тогда пластину, которая охлаждается при - О, можно назвать термически тонкой , а при В1 - ОО термически толстой . [c.99] Как видно из (3.33), температура 0 во всех точках тела изменяется с течением времени по закону экспоненты. [c.99] Более детально начальный период охлаждения пластины будет проанализирован ниже (см. 3.3). [c.99] Отметим, что формула (3.37) справедлива и для процесса нагревания с той лишь разницей, что при этом в скобках (3.35) надо поменять знаки. Приведенный способ расчета количества теплоты справедлив для тел любой геометрической формы. [c.100] Вид функций JQ x) и 71(л ) показан на рис. 3.4. [c.101] Для вычисления температуры в цилиндре следует воспользоваться таблицами функций Бесселя (табл. 3.3). [c.103] Начальный этап охлаждения или нагревания тел. Рассмотрим особенности процесса нестационарной теплопроводности пластины (см. 3.2) на начальном этапе ее охлаждения или нагревания. Решение этой задачи методом Фурье, как нам известно, представляется в виде бесконечного ряда частных решений. При очень малых числах Ро и больших числах Bi ряд сходится настолько медленно, что нахождение температурного поля становится практически не реализуемой задачей. Физически это объясняется тем, что толщина пластины (или ее половины), которая используется во всех частных решениях, в самом начале охлаждения не влияет на изменение температуры в поверхностном слое. Можно было бы рассмотреть частный случай решения для поверхностного (пограничного) слоя малой толщины, однако методом Фурье этого сделать нельзя. Получить физически обоснованное решение можно, если вместо пластины рассматривать полу-ограниченный массив. Рассмотрим решение задачи об охлаждении такого массива. [c.106] Распределение температуры в пограничном слое для различных моментов времени показано на рис. 3.6. [c.109] Вернуться к основной статье