ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Численный метод решения стационарных задач теплопроводности из "Тепломассообмен Изд3" Рассмотрим процесс теплопередачи через плоскую стенку толщиной 5 (рис. 2.25). Заданы температуры жидкостей с двух сторон от стенки T и Т 2- Со стороны первой жидкости площадь поверхности стенки равна F , а коэффициент теплоотдачи составляет а,. На другой стороне стенки имеются плоские ребра высотой /, шириной Ь и толщиной 5. Оребрение поверхности сделано с целью увеличения теплового потока, так как известно, что со стороны второй жидкости а2 значительно меньше а,. Выведем формулу для расчета 2 через данную стенку. [c.68] Обозначим температуры одной и другой поверхностей стенки (соответственно со стороны первой и второй жидкости) через и Т 2 площадь поверхности ребер через Fp, а площадь поверхности стенки между ребрами через F(.. Поверхности площадью Fp соответствует коэффициент теплоотдачи йр, а поверхности площадью — а .. [c.68] Здесь А, — теплопроводность ребра. [c.68] Для пластинчатых ребер (рис. 2.26) высоту к подбирают таким образом, чтобы площадь поверхности прямоугольного ребра была такой же, как площадь поверхности круглого ребра. Аналогично поступают и в случае, когда ребра расположены на коридорном или шахматном пучке труб. [c.69] В предыдущих параграфах рассматривались аналитические решения задач теплопроводности, которые имеют очень, большое значение, в особенности, если удается получить привычные формулы, удобные для использования и анализа. К сожалению, получить простое и наглядное аналитическое выражение удается далеко не всегда. Зачастую решение задачи представляется в виде ряда со специальными функциями, работа с которым достаточно трудоемка. Если же приходится решать нелинейное уравнение, то аналитическое решение получается лишь для весьма ограниченного круга задач. [c.70] Численные методы решения позволяют существенно расширить этот круг. Можно утверждать, что задачи, имеющие аналитическое решение, могут быть решены также и численно, но многие из них могут быть решены только с помощью численных методов. [c.70] Основным недостатком численного решения является то, что результат представляет собой набор (таблицу) чисел, что, безусловно, снижает наглядность и затрудняет анализ решения. Однако аналитические и графические возможности современных компьютеров в большой степени снимают остроту этой проблемы. Следует отметить, что именно появление во второй половине XX в. быстродействующих ЭВМ позволило состояться численным методам, ибо сама по себе идея численного решения известна, по меньшей мере, со времен Ньютона, и лишь большая трудоемкость массовых вычислений служила основным препятствием ее реализации на практике. [c.70] Кратко рассмотрим лишь один из многих численных методов решения дифференциальных уравнений теплопроводности — метод контрольного объема [31]. [c.70] Основная идея численного решения состоит в том, что оно записывается не для всей области интегрирования сразу, а для дискретной, малой ее части — контрольного объема (имеется в виду трехмерное пространство). В частности, если контрольный объем мал, то в его пределах искомая величина (у нас — температура) практически не изменяется и, следовательно, характеризуется численным значением, которое приписывается фиксированной точке внутри этого объема — узлу или полюсу. Связь же между численными значениями искомой величины в соседних контрольных объемах устанавливается через дискретный аналог дифференциального уравнения теплопроводности, что позволяет охватить всю область интегрирования. Как было отмечено выше, уравнение теплопроводности отражает закон сохранения энергии. Применительно к контрольному объему при стационарном температурном поле этот закон может быть сформулирован так Изменение во времени энтальпии контрольного объема равно нулю, так как в любой момент времени количество теплоты, выделившейся в контрольном объеме в связи с действием в нем внутренних источников (стоков) теплоты, плюс количество теплоты, поступившей в контрольный объем через часть его границ, равно количеству теплоты, покинувшей контрольный объем через другие его границы в процессе теплообмена с окружающими телами (соседними контрольными объемами) . [c.70] Таким образом, для каждого контрольного объема записывается алгебраическое уравнение, связывающее значение температуры в нем со значениями температуры в соседних контрольных объемах. Общее число таких уравнений равно числу контрольных объемов, составляющих область интегрирования уравнения. Очевидно, что рещение такой системы уравнений дает приближенные значения температуры во всех контрольных объемах. В пределе, если число контрольных объемов устремить к бесконечности, приближенное решение переходит в точное. [c.71] Рассмотрим метод контрольного объема на примере ранее рассмотренной простой задачи о теплопроводности ребра постоянного сечения (см. 2.6). [c.71] Применение метода включает шесть шагов постановку задачи, дискретизацию области интегрирования, дискретизацию дифференциального уравнения, дискретизацию граничных условий, решение системы алгебраических конечно-разностных уравнений, анализ решения. [c.71] Постановка задачи. Ребро (стержень) длиной / с постоянной площадью поперечного сечения / на левом торце (границе) которого поддерживается постоянная температура Гц. отдает теплоту (со своей боковой поверхности и правого торца) жидкости, имеющей более низкую температуру При заданном коэффициенте теплоотдачи а от поверхности ребра к жидкости рассчитать изменение температуры по его длине. Теплопроводность материала ребра X задана. Опустив все допущения (см. 2.6), сформулируем задачу математически. [c.71] Для точности решения важно, чтобы соблюдалась ортогональность границ контрольного объема осям координат. В нашем случае это требование выполняется. [c.72] Для дальнейших рассуждений рассмотрим три соседних внутренних контрольных объема с узлами Р, Е. И,ндекс ( для удобства опустим. [c.72] Отметим, что в рамках метода допускается выбор любой функции ступенчатой, степенной, экспоненциальной. Предположение о малости контрольного объема делает это допущение обоснованным, а удачно выбранная функция увеличивает точность решения. Более того, метод допускает различные функции при интегрировании правой и левой частей уравнения (2.123), чем мы уже воспользовались. [c.72] Как говорилось выше, уравнения вида (2.124) должны быть записаны для всех внутренних контрольных объемов, они образуют систему из - 1 уравнений. Эта система не замкнута, так как число неизвестных равно п+ . Недостающие уравнения получим из граничных условий. [c.72] Таким образом, благодаря описанной выше процедуре дискретизаций уравнения и граничных условий нам удалось записать для наших п + 1 узлов п + 1 уравнений вида (2.124) и вычислить коэффициенты при неизвестных. Если записать полученную систему уравнений в матричном виде Ад = В, то будет видно, что матрица А коэффициентов уравнения — ленточная, т.е. все ее коэффициенты, за исключением тех, которые стоят на главной диагонали и двух ближайших к ней, равны нулю. Это понятно, так как каждое уравнение вида (2.124) связывает лишь три узла, а состоит формально из /7 + 1 членов. [c.73] Решение системы конечно-разностных уравнений. Из математики известны самые разнообразные методы решения систем алгебраических уравнений, многие из которых реализованы в программном обеспечении ЭВМ. [c.73] Для решения линейной системы алгебраических уравнений с ленточной матрицей коэффициентов используют чаще всего специальный метод — так называемый метод прогонки, являющийся частным случаем известного метода Гаусса. Воспользуемся возможностями программного продукта компании Mathsoft—Math ad, который позволяет работать с алгебраическими выражениями, различными функциями и матрицами, причем их можно записывать в почти привычном математическом виде. [c.73] Вернуться к основной статье