ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Линейные и однородные операторы. Характеристические функции из "Динамика процессов химической технологии" Здесь 1И1а(1) и WL(t) —скорости газа и жидкости в абсорбере (рассматривается общий случай, когда хюа и Ш1. меняются во времени) в (х, 0,Ь (х, () — концентрации распределяемого компонента в жидкости и газе, соответственно 0ц (0 ,) — равновесная концентрация. [c.38] Ось пространственной координаты х совпадает с осью абсорбера и направлена снизу вверх точка х = 0 — нижняя, точка х = 1 — верхняя. В абсорбере, описываемом уравнениями в частных производных (2.1.1), в которые входят параметры 0о, Оь, 00, распределенные по пространственной координате х, естественным образом выделяются точки входа в аппарат и выхода из него по каждому из потоков. Для газа точкой входа в аппарат является х — 0, точкой выхода — х=1, для жидкости точкой входа —л = /, а точкой выхода—х = 0. Аналогичное выделение точек входа и выхода может быть легко сделано в любой математической модели с параметрами, распределенными по одной пространственной координате. В соответствии с этим в каждой модели технологического объекта можно выделить три группы параметров. [c.38] Во вторую группу входят физические величины, определяющие процесс, который проходит внутри технологического объекта (в области О л С/), и зависящие от заданм входных параметров. Их называют внутренними параметрами. В данном примере такими параметрами являются профили концентраций распределяемого компонента в жидкости и газе a x,t), L(x,t) и равновесная концентрация 0с (0l). Часто к этой же группе параметров относят константы, входящие в систему уравнений, т. е. величины Ro, Rl, а также начальные условия а о(х) и 0lo(x). [c.39] Подобно тому, как для задания функции необходимо указать область определения этой функции, для задания оператора не.рбходимо указать множество функций, к которым этот оператор может быть применен. [c.40] Дадим строгое определение функционального оператора. Функциональным оператором называется правило, по которому каждой функции u(t) из некоторого множества функций U ставится в соответствие некоторая функция v(t) из множества функций V. Для обозначения оператора обычно используется одна из следующих записей v = Ли А (и U v V) -, А и v, и v. Обычно говорят, что оператор А действует из множества U в множество V или что оператор А переводит функции из множества U в множество V. Множество U называют множеством задания оператора. [c.40] Отметим, что во всех рассмотренных пространствах промежуток задания функций может быть не только конечным, но и бесконечным, вида [io,+о°), (— о] или (—с ,-fe ). [c.41] Описанные функциональные пространства удовлетворяют следующим отношениям включения io]= С[0, io]= С [0, /о]= [0. /о] IO, iol- Каждое из пространств в этом ряду целиком содержится во всех пространствах стоящих левее него. Например, все непрерывные функции (функции из С[0, to]) формально можно считать кусочно-непрерывными, т. е. они принадлежат [0, io]. Все непрерывно дифференцируемые функции (функции из С [0, io] являются и просто непрерывными, т. е. принадлежат С[0, io] и т. д. Функции из пространства С [0, io] входят и во все пространства /([О, Iq], С[0. 4], О [0, io]. [c.41] В дальнейшем не будем конкретизировать пространства функций, которые используются в примерах. Будем всегда считать их такими, что с любой функцией из этого пространства можно проделать все операции, которые встречаются в математической модели. Так, если математическая модель объекта представляет собой систему уравнений (2.1.1) с условиями (2.1.2), (2.1.3), то будем считать, что функции a x,t) и 0 (дг, i) берутся из пространства кусочно-непрерывных по переменным х и t функций (на промежутке [О, 1] по л и на промежутке [О,- -оо] по t), а функции Wo(i), wiiO, авх(0, Slbx(() из пространства /([О, оо кусочно-непрерывных по t функций (для реальных абсорберов функции We(t) и WL(i) всегда непрерывны). [c.42] Рассмотрим теперь наиболее часто встречающиеся функциональные операторы. [c.42] Тождественный оператор. Пространства U и V совпадают и U=V = K[0,to]. Тождественный оператор Е каждой функции u(i) из /С[0, io] ставит в соответствие ту же самую функцию u t), т. е. v(t) = Eu t) — u t). [c.42] просто сдвигает u[t) на величину т вправо по оси абсцисс. [c.42] Приведем простой пример технологического объекта, функциональным оператором ко орого является оператор сдвига. [c.42] Интегральные операторы вида (2.1.8) играют большую роль в теории функциональных операторов, представляя собой универсальную форму записи линейных операторов. Часто задача исследования свойств оператора некоторого объекта решается с помощью представления этого оператора в форме (2.1.8) и дальнейшего изучения свойств функции Q t,x), которая является важной характеристикой всякого технологического объекта, поскольку знание ядра интегрального оператора Q(i, т) позволяет по любой входной функции объекта u(t) с помощью соотношения (2.1.8) определить соответствующую выходную функцию y(i). [c.43] Операторы, задаваемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Операторы этого вида, наряду с операторами, задаваемыми системами уравнений в частных производных, наиболее часто встречаются в технических приложениях, поскольку большинство технологических объектов описывается именно обыкновенными дифференциальными уравнениями или уравнениями в частных производных. [c.43] Величина to здесь произвольна, и даже можно положить to = оо. [c.44] В объектах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, все параметры являются функциями только времени, и делятся на входные и выходные лишь по их независимому или зависимому заданию, поэтому входные параметры всегда входят в дифференциальные уравнения математической модели. В отличие от этого в объектах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, внутренние параметры зависят от пространственной переменной и входные параметры относятся к одной из точек (обычно к точке = 0). В таких системах входные параметры, как правило, задаются в виде граничного условия на входе в аппарат (а = 0). Кроме того, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, входные параметры могут непосредственно входить в уравнения математической модели. [c.45] Приведенный пример показывает, что функциональный оператор объекта, математическая модель которого включает систему уравнений в частных производных, является многомерным оператором. Если система состоит из п уравнений первого порядка, то в математическую модель должно входить п граничных условий, которые содержат п входных функций. Таким образом, пространство задания оператора U будет пространством -мерных вектор-функций. Это обстоятельство существенно усложняет исследование функционального оператора. Поскольку все методы исследования, излагаемые далее, относятся только к одномерным операторам, возникает необходимость сведения задачи исследования многомерного оператора объекта к задаче исследования одномерных операторов. [c.46] Оператор Л можно заменить системой операторов Ui t)- v (t) каждый из которых сопоставляет величине (/) [прираще ние входного параметра ц, (/) относительно его стационарного зна чения величину Иу(0 [приращение выходного параметра t (i относительно его стационарного значения о ]. Для остальных вход ных величин выполнено ( ) = О, тф1, т. е. параметры ит 1) имеют неизменные стационарные значения. Таким образом, все операторы Лгу описываются краевыми задачами, которые получаются из исходной математической модели приравниванием к нулю всех входных переменных, кроме -й. [c.47] В рассматриваемом случае учитывая последовательный способ соединения частей, можно записать оператор всего объекта как произведение операторов, описывающих отдельные части. [c.48] Вернуться к основной статье