ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Классическая теория колебаний из "Введение в квантовую химию" Поскольку трехмерных мембран и трехмерных приливных волн не бывает, при рассмотрении волн в трех измерениях мы должны обратиться к системам нового типа. Наиболее подходящими являются звуковые волны в газе, хотя кристаллические тела и электромагнитное излучение также порождают много интересных примеров. [c.74] Величины о, р, ы, о и пг флуктуируют в звуковой волне. [c.74] Рассмотрим небольшой элемент объема газа, ограниченный плоскостями х,хф с1х, у, у- г йу, 2, 2 -f йг. Движение газа через этот элемент должно подчиняться законам Ньютона и закону сохранения вещества. [c.75] Из применения закона сохранения вещества следует, что скорость возрастания массы газа в этом элементе объема должна быть равна результирующей скорости притока газа. [c.75] Скорость возрастания массы элемента = (йд/(5/) (йхйуйг). [c.75] Скорость притока через плоскость х+йх= [1Щ дид/дх) йх] йу йг. Результирующая скорость притока через обе плоскости = — дuQ/дx) X X йх йу йг. [c.75] Это и будет уравнение непрерывности. [c.75] Это будут уравнения движения. [c.75] Рассмотрим комнату, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда с длинами сторон а, Ь я с, заполненную воздухом с постоянной температурой. Если стенки являются идеально жесткими, то в газе, непосредственно примыкающем к стенкам, нет никакого движения в направлении, перпендикулярном стенкам. Поэтому мы можем решать уравнение (В-11) с условиями С = onst. [c.76] Очевидно, что если какое-либо из п равно нулю, то давление вообще не будет изменяться, следовательно, основным колебанием будет при этом (1,1,1). Корреляция этих колебаний с колебаниями, описываемыми уравнением (В-22), будет более ясна после обсуждения на стр. 104 и след. [c.77] разделение переменных в общем случае невозможно. [c.78] Нули этого уравнения могут быть найдены с помощью таблиц и других сведений, приведенных в книге Янке и Эмде ([8], гл. 8). Очевидно, уравнению (В-37) будут удовлетворять только некоторые значения ш. Они приведут к частотам возможных нормальных колебаний, но уравнение для этих частот оказывается гораздо более сложным и мы ограничимся только проведенным выше рассмотрением этой задачи. [c.79] Корни этого уравнения могут быть найдены гораздо легче. Интересно, что это условие применимо также к газообразной звезде, температура и состав которой всюду одинаковы (что приводит к постоянной скорости звука) и частицы которой удерживаются гравитационными силами. [c.79] При п — О корни уравнения будут соа/с = Ы, где I — целое число. Это приводит к частотам V = ш/2я = 1с 2а. Эти частоты гармонические. [c.79] При п= корни уравнения (В-38) будут ма/с = 4,4934 7,72 10,89, 14,08 . .., что приводит к частотам, которые не являются гармоническими. [c.79] При г = 2 корнями будут юа/с = 5,77 9,11 12,34 15,52, которые также не соответствуют гармоническим частотам. [c.79] Изобразить вид этих колебаний в двух измерениях было бы затруднительно, но некоторую помощь могут оказать графики, приведенные на рис. 32. Приведенные частоты относятся к полости с легкими стенками, но общее расположение узлов является более или менее сходным как для легких, так и для тяжелых стенок. Колебания обозначены по их угловой зависимости (з, р,й... как колебания океана) и по числу узловых поверхностей (соответствующие числа указаны перед буквами ъ, р, с1 и т. д., причем эти числа на единицу больше числа узлов). [c.79] Следует указать, что в этом случае, особенно в случае высших колебаний, -колебания с /-узлами имеют такие же частоты, как -колебания с / — 1-узлами. Так, пз имеюттакиеже частоты, как (п+1)с . То же справедливо в отношении пр и (я+1) /. Действительно, оказывается, что колебания 5, й, g, /. .. имеют частоты, являющиеся целыми кратными основной частоты, а колебания р, /, /г, /. .. имеют частоты, являющиеся полуцелыми кратными основной частоты. [c.79] Классическая теория колебаний. [c.80] Вернуться к основной статье