ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Обыкновенные1 дифференциальные уравнения из "Введение в квантовую химию" Некоторые наборы функций обладают тем замечательным свойством, что они могут служить базисом для разложения по ним других произвольных функций. Такие наборы функций играют очень важную роль в квантовой механике, и, для того чтобы познакомить читателя с основными понятиями теории разложения в ряды, рассмотрим два частных случая рядов функций. [c.21] Ряды Фурье отличаются от степенных рядов во многих существенных отношениях. Интервалы сходимости степенных рядов для разных функций различны с другой стороны, для рядов Фурье (Е-1) интервал сходимости всегда есть (— я, + я). Далее, для многих функций разложение в степенные ряды вообще невозможно, тогда как ряды Фурье позволяют представить почти все функции, вплоть до самых экстраординарных. [c.22] Польза разложения в ряды Фурье отнюдь не является самоочевидной. Интересно отметить, что за полстолетия до того, как Фурье открыл это разложение, некоторые математики, как, например, Лагранж и Эйлер, встречали эти разложения в частных задачах, которыми они занимались, но не смогли обобщить их, так как на первый взгляд они не казались приемлемыми. По этой же причине Фурье встретился с некоторыми трудностями перед тем, как его теория была признана. [c.22] Многие другие наборы взаимноортогональных функций также могут быть использованы для разложения по ним призвольных функций в различных интервалах. Такие наборы функций называются полными и будут рассмотрены более подробно в гл. 3. [c.24] Упражнения. Найдите раз.пожения некоторых из следующих функций в ряды Фурье и пока-жиго с помощью графиков, как в каждом примере сумма первых членов начинает приближаться к нс тинной функции. [c.24] Строгое доказательство соотношений (Е-17) и (Е-18) может быть найдено в стандартных учебниках (см., например, 13,4]). Формула (Е-17) известна под названием интеграла Фурье, и / (х) и // (/г) являются преобразованиями Фурье одной функции в другую. [c.25] Таким образом, преобразование Фурье [уравнение (Е-18)] и спектроскоп делают с функцией f(x), по существу, одно и то же. Единственное отличие заключается в том, что обычный спектроскоп дает не первые степени, а квадраты преобразований Фурье. [c.26] Упражнения. 1. Докажите непосредственной подстановкой (Е-19) в (Н-18), что преобразование Фурье функции f (л-) в равенстве (Е-19) очень велико при k = гя/Xi, ЧЯ/Х2, 2Я/Л3... и что соответ-ствующпс значения g k) относя тся, как A . ... [c.26] В упражнении 3f х) представляет цуг монохроматических волн конечной продолжительности. [c.26] Квадрат преобразования Фурье для цуга волн, состоящего из 200 колебаний с длиной волны %о. [c.26] При прохождении этого цуга волн через спектро-скоп интенсивности, наблюдаемые при различных установках шкалы длин волн спектроскопа, пропорциональны ординате. [c.26] Дифференциальное уравнение считается решенным, если найдены все функции, удовлетворяющие этому уравнению. Каждому дифференциальному уравнению удовлетворяет целое семейство функций, и часто бывает не легко выяснить, что это за функции. Далее, во многих практических приложениях мы интересуемся определенным членом этого семейства, удовлетворяющим некоторым специальным условиям. Поэтому решение дифференциальных уравнений требует большого математического мастерства и настойчивости. Тем не менее важно усвоить, что в тех явлениях, для описания которых мы пользуемся дифференциальными уравнениями, нет ничего непонятного. Действительно, часто можно получить представление об общем виде решений дифференциального уравнения при помощи сравнительно простых методов. [c.27] Упражнения. 1. Точным решением уравнения (Ж-1) является у = х — + Сс , где С —про-нзвольная постоянная. Проверить то, что эти решения имеют вид, изображенный на рнс. I , б, причем 1 азиыс значения С соответствуют разным кривым этого семейства. [c.28] Вторая производная от функции представляет собой просто скорость изменения наклона при изменении независимой переменной. Если наклон функции не постоянен, графиком функции является кривая значение d -y/dx-является при этом мерой кривизны решения. Вследствие этого дифференциальное уравнение второго порядка можно рассматривать как выражение кривизны его решений, подобно тому как дифференциальное уравнение первого порядка может рассматриваться как выражение наклона его решений. [c.29] Дифференциальные уравнения второго порядка не дают нам сведений относительно наклона решения, проходящего через данную точку х, у). Поэтому наклон может быть выбран произвольно. Вследствие этого через данную точку в плоскости зу может проходить бесчисленное множество решений, отличающихся наклоном. Очевидно, многообразие решений диф-qbepeHHHaflbHoro уравнения второго порядка еще больше, чем у дифференциальных уравнений первого порядка, у которых через каждую точку в плоскости ху проходит только одно решение. Большее многообразие выражается в том, что в решениях всех дифференциальных уравнений второго порядка содерлчатся две произвольные постоянные. [c.29] Согласно этому уравнению, ири положительном у наклон решения убывает с возрастанием х. С другой стороны, если у отрицательно, наклон увеличивается с возрастанием X. Говоря кратко, все решения выгнуты вниз в верхней половине плоскости ху и вогнуты вверх в нижней половине этой плоскости. Далее, кривизна решения, проходящего через данную точку, тем больше, чем больше значение ординаты этой точки. Если решения проходят через ось х [у 0), они вообще не должны быть выгнуты, т. е. точки, лежа-П1ие на оси х, являются всегда точками перегиба. [c.29] Легко видеть, что решения (Ж-6) должны осциллировать при изменении X, т. е. переходить с одной стороны от оси х на другую, поскольку пока. мы находимся по одну сторону от оси X, кривизна такова, что решение стремится перейти на другую сторону от оси х, а когда оно достигает противоположной стороны, то стремится вернуться вновь на исходную сторону. Поэтому при одном рассмотрении вида дифференциального уравнения можно судить об общем поведении решений. [c.29] Решения дифференциального уравнения 1ру/с1х = —у, проходящие через точку (0,1) и имеющие в этой точке указанные наклоны 5о. [c.30] Обратите внимание на стремление решений выгибаться в сторону оси л. [c.30] Вернуться к основной статье