ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Особенности задач оптимального расчета технологических аппаратов. Выбор установившегося режима процесса из "Вариационные методы расчета химических аппаратов" Любая задача оптимизации содержит два основных элемента— критерий оптимальности, который мы обозначим через / или /о, и набор условий, которым должно удовлетворять решение, т. е. условий, выделяющих множество допустимых решений О. Целью решения является определение такого элемента у 0, на котором критерий оптимальности достигает своего максимального значения /. Задачу минимизации критерия оптимальности можно свести к задаче на максимум изменением знака /. Величину I называют значением экстремальной задачи, а соответствующий ей элемент множества О — решением. [c.6] Экстремальные задачи возникают в химической технологии при обработке экспериментальных данных, проектировании технологических аппаратов и схем, выборе их оптимального режима. Эти задачи имеют некоторые особенности по сравнению с задачами оптимизации в таких областях как управление движением, математическая экономика, теоретическая физика и др. Перечислим основные из этих отличий. [c.6] Решение задач оптимизации начинают с их постановки. Этот важный и далеко не формальный этап во многом определяет как трудоемкость, так и ценность полученного решения. Постановке обычно предшествует обсуждение задачи на эвристическом уровне. В качестве примера постановки задачи рассмотрим задачу выбора оптимального установившегося режима технологического процесса, которой в этой книге уделено много внимания. [c.7] Заметим, что процессы, в которых у постоянны, удовлетворяют данному определению при любом Т и образуют подкласс установившихся режимов. Назовем такие режимы статическими. Более общий класс образуют режимы, для которых можно найти такую величину Т, что каждый из периодов T y укладывается в Т целое число раз. Такие режимы будем называть циклическими. Наконец, данному выше определению удовлетворяют и режимы, для которых не существует период Г, общий для всех Гу. Это соответствует случаю, когда отношение хотя бы двух периодов Ti и Гг иррационально. Такие режимы будем называть квазициклическими. [c.8] Среди циклических установившихся режимов выделяют два в некотором смысле предельных случая. Один из них — квази-статический режим, для которого каждый из периодов 7v значительно превышает время переходных процессов в объекте. Если при этом каждое из статических состояний объекта устойчиво, то динамикой объекта можно пренебречь и считать, что при изменении режимных переменных переменные состояния изменяются в соответствии со статическими характеристиками. Второй предельный случай — скользящий режим, когда все или некоторые из режимных переменных изменяются со столь большой частотой, что за счет инерции объекта переменные состояния остаются практически неизменными, и их значения зависят от усредненного влияния изменений режимных параметров. [c.8] На рис. 3 показано разбиение множества циклических режимов технологических процессов. Хотя статический режим и является частным случаем циклического, далее, говоря о циклическом режиме, будем иметь в виду режим, при котором хотя бы одна из переменных изменяется периодически. Циклический режим будем называть эффективным, если переход к этому режиму позволяет получить более высокое значение показателя эффективности процесса, чем в статическом режиме. [c.8] Причины эффективности циклического режима. Прежде чем рассматривать формальные постановки задачи и методы расчета циклических режимов, обсудим на нескольких простых примерах возможности, связанные с использованием таких режимов, и причины их эффективности. [c.8] Пример I. Выбор нагрузки одиночного аппарата. [c.9] Пусть задана характеристика аппарата, связывающая егор нагрузку р с затратами сырья 5 (рис. 4). Необходимо получить максимальную производительность при заданных затратах сырья 5. [c.9] В статическом режиме расходу в соответствует единствен ное значение нагрузки Рст- Если перейти к циклическому ре-жиму и предположить, что затраты сырья должны быть равны не в каждый момент времени, а в среднем за цикл, то можно ставить задачу и о максимизации средней нагрузки за цикл. [c.9] Поставленная задача заключается в таком выборе точек 81 и S2, чтобы получить возможно большую ординату точки пересечения отрезка, соединяющего соответствующие этим расходам точки статической характеристики с нормалью N к оси абсцисс, восстановленной в точке На рис. 4 штриховыми линиями показаны несколько таких отрезков. Каждый из них имеет со статической характеристикой две общие точки, определяющие расходы сырья 1 и 2 (их называют базовыми). Самому верхнему из этих отрезков соответствуют базовые значения 51 = 0, 52 = 52. Очевидно, что нельзя построить другой отрезок, пересекающийся с нормалью в точке с большей ординатой, чем кс. Эта ордината соответствует максимальной средней нагрузке в квазистатическом режиме. Так как квазистати-ческий режим есть частный случай циклического, то можно утверждать, что переход к циклическому режиму в данном случае эффективен (рнс Рст). [c.10] Пример. 2. Выбор подпитки в аппаратах полунепрерывного действия. [c.10] Пример 3. Рассмотрим трубчатый реактор длиной Ь, в который поступает сырье с концентрацией катализатора Хвх-Реакция происходит с выделением теплоты, и в результате по длине аппарата устанавливается некоторый температурный профиль 0ст(О (рис. 6). При некотором / = / температура достигает максимума. Это максимальное значение температуры ограничено значением 0 , так как при его превышении происходит разложение продукта. В то же время с понижением температуры уменьшается и степень конверсии. В первом приближении степень конверсии возрастает с увеличением площади под кривой 0( ). Повышение концентрации катализатора во входном сечении позволяет увеличить степень конверсии, но температура при этом превышает допустимый предел (верхняя линия на рис. 6). Периодическое изменение концентрации катализатора во входном сечении аппарата позволяет получить более равномерный профиль температур, чем в статическом режиме. Закон распределения по сечениям аппарата средний за период температуры 0(/) показан на рис. 6. Площадь под кривой 0(/), а значит, и степень конверсии выше, чем в статическом режиме. [c.11] Пример 4. Полимеризация в трубчатом реакторе. [c.11] Все примеры рассмотрены на эвристическом уровне при очень грубых допущениях. При этом цель состояла в предварительном определении сферы использования циклических режимов в химической технологии. [c.12] Обсудим изложенные примеры и выделим те особенности задач, которые приводят к повышению эффективности процесса в циклическом режиме. [c.12] В примере 1 эффективность циклического режима определяется такой нелинейностью характеристики аппарата, при которой отрезок, соединяющий точки графика p[s) для заданного s = s, лежит выше самого графика. В примере 2 нелинейная зависимость скорости образования продукта х от его концентрации X такова, что средний наклон кривой x(t) на участках (.v , X, ) или (О, Хк) оказывается больше, чем (Хк) для заданного значения х . Наконец, в примере 3 использование динамических свойств процесса позволяет изменять в нужную сторону температурный график 0(/). [c.12] Для всех примеров и для циклических режимов вообще характерно следующее. [c.12] Ответы на вопросы, сформулированные в пп. а—в, желательно получить, не решая задачи, поставленной в п. г, так как ее решение в большинстве случаев достаточно сложно. [c.13] При переходе от статического к циклическому режиму расширяем множество допустимых решений оптимальной задачи включением в него наряду с векторными переменными, неизменными во времени, периодических функций времени причем на множестве статических режимов критерии оптимальности этих задач совпадают. Подобное расширение экстремальных задач оказывается полезным в целом ряде случаев. В следующих главах обсудим общие свойства расширения и возможности его использования. [c.13] Вернуться к основной статье