ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Решение -уравнения. Полиномы Лежандра из "Теория строения молекул 1979" Задача 2,2. Получить четыре первых присоединенных полинома Лежандра, воспользовавшись уравнением (2.23). [c.26] В табл. 1 Представлен вид функций 0г,щ(0) для некоторых значений I. [c.26] Задача 2.3. Присоединенные полиномы Лежандра являются ортогональными функциями, т. е. [c.27] Величина п называется главным квантовым числом, так как согласно (2.41) определяет энергию водородоподобного атома. [c.29] В табл. 2 приведены функции Яп1 г) для различных п и I. [c.29] Задача 2.4. Получить вид функций Яп1 г) для п= 2, 3 и показать их орто-нормированность. [c.29] Таким образом, появление дискретных квантовых чисел автоматически следует из математических условий, налагаемых на волновую функцию. Этот результат строгой квантовой теории является громадным шагом вперед по сравнению с теорией Бора, в которую идея квантования введена постулаторно. [c.30] По предложению Малликена волновую функцию (2.46), соответствующую определенному набору квантовых чисел п, I и принято называть атомной орбиталью (АО). Этим подчеркивается как определенная аналогия с боровскими орбитами — траекториями движения электрона вокруг ядра, так и различие в трактовке классического понятия орбиты и орбитали, в которую вкладывается квантовомеханическое вероятностное понимание. [c.30] Функцию с t=0 называют s-функцией, с /= 1 — р-функцией и т. д. [c.31] Для удобства и без потери общности можно считать, что отрицательным значениям т соответствуют функции с sin т ф, а положительным os /п ф. [c.34] В табл. 3 представлены угловые функции (2.49) для некоторых значений I и т. [c.34] Угловые части функций, приведенные в табл. 3, представлены диаграммами на рис. 3. Эти диаграммы строятся следующим образом в пространстве соединяются все точки, в которых сферическая гармоника имеет одно и то же числовое значение. Сечения этих поверхностей координатными плоскостями ху и XZ показаны на рис. 4. [c.34] Графическое изображение полной волновой функции затруднительно, так как она зависит от трех переменных г, 9 и ф. В связи с этим используются ее различные диаграммные представления. Один из способов заключается в комбинировании двух зависимостей для угловой и для радиальной частей. Например, такой вид 2рж-орбитали показан на рис. 5. Не обладая достаточной наглядностью, он содержит все необходимые данные для оценки значений г, 9, ф) в любой точке пространства. [c.37] Лучшим способом представления полной волновой функции являются пространственные контурные карты Ч и от двух переменных (при одной фиксированной). На рис. 5 даны зависимости Ч и от координат х к у (при 2=0). Для построения используются электронные вычислительные машины и созданы специальные программы. Последние включают не только вычисления функции, но и выбор наиболее удобного масштаба и проекции, а также построение в этой проекции поверхности задаваемой функции (Ч или Ч 2) с помощью графопостроителя. [c.37] Знание полной волновой функции системы позволяет вычислять любые ее свойства по соотношению (1.34). В этом разделе расчеты подобного типа иллюстрируются вычислением некоторых важных характеристик водородоподобного атома. [c.37] Задача 2.6. Определить среднее значение в основном состоянии атома водорода. [c.38] Наиболее вероятное расстояние электрона от ядра точно совпадает с радиусом первой боровской орбиты. [c.38] Несовпадение наиболее вероятного и среднего расстояний электрона от ядра легко понятно из рис. 2. Плотность вероятности, определяемая функцией распределения Р г), не является симметричной функцией относительно своего максимума. Существует достаточно большая вероятность найти электрон на расстояниях, больших 2(2о, в связи с чем среднее расстояние всегда будет превышать наиболее вероятное. [c.38] Вернуться к основной статье