ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА АТОМНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ Атомы, молекулы, реакции из "Методы линейной алгебры в физической химии" При решении линейных алгебраических систем часто приходится сталкиваться с проблемой плохой обусловленности этих систем. [c.143] Важность исследования этой проблемы вытекает уже из того факта, что элементы вектора V в физических и физико-химиче-ских задачах — экспериментальные величины. Погрешность в их определении сказывается на определяемых величинах параметров (неизвестных) х,-. При плохой обусловленности эта погрешность влечет за собой сильные вариации в значениях параметров, а следовательно, и малую достоверность вычисленных значений параметров. [c.143] При этом получается приближенное равенство, показывающее, что если det А мал и соответственно det А велик, то у матрицы А могут появиться больщие элементы, что повлечет за собой возникновение, вообще говоря, больших элементов AXj. Этот же результат, впрочем, можно получить и непосредственно из формулы (5.3). [c.144] И в этом случае элементы ДХ будут, вообще говоря, значительными, если велики элементы (А А) , т. е. матрица А А близка к особенной. [c.144] Такой перечень оценок вряд ли целесообразно продолжать дальше, поскольку картина уже достаточно ясна. Хорошая или плохая обусловленность тесно связана с величиной определителя обратной матрицы и с величинами ее элементов. Введено большое число различных критериев, определяющих обусловленность, простейшим из которых является величина нормированного определителя матрицы А. [c.145] Точнее, числа ад определяются из следующих соображений. [c.145] Для плохо обусловленных систем возникает проблема выбора алгоритма решения. Практически все алгоритмы, рассмотренные в предыдущих параграфах, мало пригодны для их решения, поскольку при проведении расчетов на каждом шаге будет возникать некоторая ошибка ДА в матрице А, например, за счет округлений или заданной точности на ЭВМ, а также ощутимая потеря значащих цифр в результате вычитаний. В конечном итоге это может привести к достаточно сильному искажению решения. Для таких систем требуются так называемые устойчивые алгоритмы, позволяющие исключить появление нежелательных ошибок, связанных, в частности, с плохой обусловленностью. Наиболее общим и наиболее часто используемым подходом является метод регуляризации, разработанный А. Н. Тихоновым. [c.146] Теория регуляризации А. Н. Тихонова пригодна для весьма широкого круга задач. В наши цели, естественно, входит лишь достаточно узкий аспект ее применения, а именно для решения некорректно поставленных задач линейной алгебры, связанных с отысканием решений систем линейных алгебраических уравнений. Предварительно дадим некоторые определения, которые нам потребуются. [c.146] Последнее условие означает, что для любого числа е О найдется такое б 0, что если Ц г (i/) — eT(i/)llRy 6, то f (х) —f x)U ib, причем / (л-) — решение Л цля g y),a. / (х)—решениедля g у). Символы II и I означают, что нормы записаны в соответствующих пространствах. [c.147] Если же задача М не удовлетворяет хотя бы одному из этих требований, то она называется некорректно поставленной. [c.147] Если система переопределенная, то не всякому вектору Y соответствует решение X (в обычном смысле). Следовательно, условие 1° не выполняется. Если система недоопределенная, то решение не единственно, так что не выполняется условие 2°. В обоих случаях задача некорректна. [c.147] Для того чтобы получить устойчивое решение, необходимо регуляризовать алгоритм решения. Под этим подразумевается, что мы должны для точной задачи АХ = найти нормальное решение Х(н), удовлетворяющее условию минимума нормы этого вектора ЦХ Ц тш. Вектор уклонений У=АХ—V для точной задачи равен нулю, так что ЦАХ н)— = 0. [c.148] Под нормой А понимается максимальное значение (АХ, АХ) / на единичных векторах X. [c.149] Система линейных уравнений (5.11) при а 0 всегда имеет единственное решение. Более того, решение этой системы устойчиво и малым изменениям V и А соответствуют малые изменения Хсс- Ограничение (5.13) для а сверху вытекает из второго условия (5.11) а выбирается так, чтобы ЦАХ —УЦ = б. Погрешность б задается заранее. Решение задачи некритично к выбору б, если только б не занижено, т. е. если погрешность б завышена вдвое, то погрешность в X увеличится не более, чем вдвое [62]. [c.149] В записи уравнений (5.14) и (5.16) под матрицей А может пониматься как истинная матрица А, если она известна, так и приближенная матрица А. Всюду ниже мы будем пользоваться этим соглашением. [c.149] Любое правило, ставящее в соответствие каждому вектору (или функции) число, называется функционалом. [c.150] С точки зрения этого определения Ма [X, А, Y] есть функционал, поскольку каждому вектору X ставится в соответствие число, определяемое по следующему правилу находится квадрат нормы вектора АХ—Y и к ней прибавляется квадрат нормы вектора X, умноженный на а. Сама по себе любая норма вектора есть также, очевидно, функционал. [c.150] Y] называется регуляризуюш,им функционалом, или регуляризатором. При стремлении а к нулю экстремальные точки функционалов стремятся к нормальному решению исходной системы уравнений. [c.150] Функциональный подход к построению регуляризованных решений оказывается весьма полезным и продуктивным, поскольку кроме указанного алгоритма регуляризации он позволяет построить множество других алгоритмов. При этом в каждом алгоритме задается некоторый функционал, для которого экстремальная (минимальная) точка X является одновременно регуляризо-ванньга решением исходной линейной алгебраической системы. [c.150] Приведем два примера построения таких функционалов. [c.150] Вернуться к основной статье