ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Расчет доверительного интервала из "Статистические методы оптимизации химических процессов" Одной из важнейших характеристик, определяющих степень разработанности технологического процесса, является устойчивость результатов при многократном повторении эксперимента в оптимальных условиях. Качество продукта и технико-экономические характеристики не должны выходить за определенные границы, обусловленные требованиями к продукции данного вида. [c.13] При опытном определении границ, в которых будут находиться характеристики продукта, трудность заключается в том, что экспериментатор может провести лишь ограниченное число параллельных определений по этой малой выборке он должен судить о результатах длительного ведения процесса. Этой трудности в значительной мере можно избежать, воспользовавшись методами математической статистики. [c.13] При опытном определении какой-либо величины экспериментатор сталкивается с тем, что параллельные измерения не дают одинаковых результатов даже при самой тщательной подготовке опыта. [c.13] Это положение является следствием того, что на процесс измерения, а, следовательно, на его результат, влияет огромное число факторов (начиная от погоды, температуры в помещении, степени изношенности оборудования и пр. и кончая состоянием экспериментатора в момент измерения). [c.13] Влияние каждого из факторов в отдельности ничтожно, но в совокупности они вызывают случайные отклонения измеряемой величины от ее истинного значения. Поэтому в результате постановки параллельных опытов получают набор случайных величин. [c.13] На практике обычно удается провести ограниченное число параллельных измерений, т. е. получить случайную выборку из генеральной совокупности. В этом случае задача экспериментатора состоит в том, чтобы по выборке оценить математическое ожидание случайной величины. Ясно, что такая оценка будет иметь некоторую ошибку. [c.13] Чем больше будет проведено параллельных измерений, т. е. чем больше будет объем выборки, тем надежнее будет оценено математическое ожидание. Иначе говоря, надежность оценки связана с числом измерений. [c.13] Выше было показано, что при параллельных измерениях оценкой математического ожидания является среднее арифметическое X. При этом степень отклонения отдельных значений от среднего арифметического характеризуется выборочной дисперсией которую рассчитывают по формуле (1.8) или (1.9). [c.13] При изменении числа параллельных измерений меняются величины X и 5 Это следует из того, что х и 5 есть оценки и, чем больше величина п, тем эти оценки надежнее. [c.13] Если сделать несколько выборок из генеральной совокупности, то каждая из них будет иметь свое х и s . От выборки к выборке они будут меняться. Так как выборки случайные, то изменение величин х и тоже будет случайным. А поскольку X и 2 есть случайные величины, они характеризуются не только значением, но и вероятностью. Исследователя интересует вопрос, насколько среднее арифметическое точно оценивает математическое ожидание М х), иначе говоря, чему равна разность М(х) —X. [c.14] Поскольку X — случайная величина, связанная с числом параллельных измерений п, то очевидно, что и б будет зависеть от п. [c.14] Также очевидно, что, чем с большей. надежностью мы хотим получить величину б, тем больше она должна быть. Например, если при М х)— 6i надежность равна 90%, а при М(х) — бг она составляет 95%, то бг 6i. [c.14] Для определения величины б можно воспользоваться функцией нормального распределения. [c.14] Величину Т находят по таблицам для функции нормального распределения, а затем по формуле (1.2) вычисляют б. [c.15] Интервал от (х — б) до ( с +б), в котором заключено значение искомой величины, называется доверительным интервалом. [c.15] Обычно говорят, что ошибка вычислена, например, с доверительной вероятностью 95%, или с риском 5%. Для вычисления б по формуле (1.12) необходима генеральная дисперсия а х). Как правило, у экспериментатора таких данных нет. По тем данным, которыми он обычно располагает (3—5 параллельных измерений), можно рассчитать только оценку для генеральной дисперсии. [c.15] Функция распределения этой случайной величины зависит от числа параллельных измерений, т. е. от объема выборки. [c.15] Существуют таблицы для /-распределения, которыми можно пользоваться при расчетах (например. Приложение 3, табл. 1) . Величину t находят по выбранной величине риска (уровню значимости) и числу степеней свободы. [c.15] Можно также найти,доверительный интервал А для (/г1)-го измерения [3]. [c.15] Величину /5(л )обозначим через б. [c.16] Вернуться к основной статье