ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Преобразования прикосновения из "Геометрическая термодинамика" Рассмотрим сначала термодинамическую поверхность Гиббса (21) [16]. Каждая точка на поверхности изображает определенное состояние каждая линия, проходящая по поверхности через эту точку, изображает некоторый процесс изменения состояния. Выберем одну такую линию, изображающую произвольный процесс, и построим линейчатую развертывающуюся поверхность, которая касается поверхности по этой линии (вообще е двухфазную поверхность, о которой было сказано выше). Тогда в каждой точке этой линии можно установить два сопряженные направления направление касательной к линии прикосновения поверхностей и направление прямолинейной образующей развертывающейся поверхности, касающейся поверхности Гиббса в той же точке. По теореме Дюпена, эти два направления совпадают с направлениями двух сопряженных диаметров индикатрисы Дюпена в этой же точке поверхности. [c.56] При проектировании всякой кривой второго порядка на любую плоскость сопряженные диаметры этой кривой проектируются также сопряженными диаметрами новой кривой, полученной в проекции. Если спроектировать индикатрису Дюпена в точке поверхности Гиббса на плоскость -г), и, то получается кривая второго порядка — индикатриса на плоскости и, для которой проекции двух сопряженных касательных в данной точке поверхности будут сопряженными диаметрами. [c.56] По смыслу теоремы Дюпена к есть угловой коэффициент проекции на плоскость у],ю упомянутой выше прямолинейной образующей развертывающейся поверхности. [c.57] Тот же результат можно получить и другим путем, а именно, если рассматривать прямолинейную образующую развертывающейся поверхности, как линию пересечения двух бесконечно близких касательных плоскостей эти две плоскости представляют собой два последовательных положения касательной плоскости, которая своим движением образует огибаемую ею развертывающуюся поверхность. [c.57] Однако это уравнение можно вывести и другим способом, основанном на изложенном здесь дифференциально-геометрическом методе. [c.59] Наконец, рассмотрим таким же образом поверхность энтальпии, изображаемую уравнением (23). Пользуясь формулами (42), можно написать, подобно предыдущему. [c.60] На основании положений, изложенных в следующем параграфе, поверхности е и С удобно назвать поверхностями взаимно диагональными такое же название можно приписать и другой паре поверхностей — фи х- В связи с этим и системы независимых переменных, относящихся к паре взаимно диагональных поверхностей, можно назвать также диагональными системами переменных. [c.61] Результаты, заключающиеся в таблице 2, можно выразить в виде общей теоремы направление процесса, сопряженного данному первоначальному процессу в некоторой системе переменных, изображается с соответствующим знаком обратной величиной углового коэффициента кривой, выражающей первоначаль ный процесс в диагональной системе переменных. [c.61] Конечно, всякая пара сопряженных процессов в физическом отношении не отличается от любой пары произвольных процессов. Однако полученные результаты имеют тот смысл, что они дают дальнейшую иллюстрацию строгой симметрии, которую вносит в термодинамические соотношения геометрическая связь между термодинамическими поверхностями. [c.61] Из определения (16) видно, что построение функции С из е представляет собой на основании (46) преобразование Лежандра, с той только разницей, что знак при г берется обратный, т. е. [c.62] В анализе доказывается, что преобразование Лежандра взаимно если поверхность 5 преобразуется путем Ь или —Ь в поверхность 8, то и 5 преобразуется таким же путем в 5. Это легко проверить для поверхностей е и если сравнить первую строку (г) с последней (ш) в таблице 1. [c.62] Легко убедиться, что функции ] и х определяемые из (14) и (15), также получаются одна из другой преобразованием —Ь, что также видно из сравнения первой и последней строк в таблице 1. [c.62] Рассмотрим теперь другой вид преобразования прикосновения, а именно преобразование Ампера, которое мы обозшчим символом А. [c.62] Кроме того, легко убедиться, что функция ф получается также изч преобразованием — А (67), а функция / из С преобразованием—Л (66). [c.63] В анализе доказывается, что преобразования А и —А также взаимны, в чем можно убедиться непосредственно на рассматриваемых нами функциях и что показано в таблице 1 в строках, относящихся к т и ср. [c.63] Следовательно, функции е и С получаются обратно из Ф и X преобразованием — А. [c.63] Таким образом, симметричность четырех характеристических функций и изображающих их поверхностей, обнаруживающаяся в таблице 1, связана с построением каждой функции из каждой другой путем преобразования прикосновения. На рис. 34 показаны взаимные превращения функций в результате преобразований — Ь и — А. Если идти по сторонам квадрата, то одна функция получается из другой преобразованием Ампера, а если идти по диагоналям— преобразованием Лежандра. Таким образом, связь четырех характеристических функций и соответствующих термодинамических поверхностей сводится к конечной группе преобразований прикосновения. [c.63] Схема на рис. 34 оправдывает введенный нами в предыдущем параграфе термин взаимно диагональные поверхности . [c.63] Вернуться к основной статье