ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Интервальные оценки характеристик объектов управления из "Типовые процессы химической технологии как объекты управления" Во многих конкретных случаях при расчете характеристик объектов управления удобно иметь не одно значение оцениваемого параметра, а ряд знатении в виде интервала, в пределах которого находится оцениваемый параметр. Обычно при решении практических задач но определению оценок нас интересует точность и надежность, с которой получаются данные оценки при ограниченном числе испытаний, по выборке ограниченного объема. В математической статистике эти задачи решаются построением доверительных интервалов (доверительных границ). [c.305] Доверительный интервал представляет собой точность определенных оценок рассматриваемых параметров, а характеристикой надежности является доверительная вероятность. Если, например, оценивается вероятность появления случайной величины, то, как известно, по опытным данным находят частоту события, равную отношению числа его появления в выборке к числу выполненных экспериментов р = т/тг. [c.305] В этом с.чучае доверительным интервалом для вероятности р будет (р — е, р Ч- е), доверительной вероятностью (1 — а), верхней и нижней доверительными границами (р + е) и (р — е). Аналогично рассматриваются доверительные интервалы для других характеристик. [c.305] Значения параметров, лежащих в доверительном интервале, согласуются с наблюденными на опыте оценками, с заданной доверительной вероятностью, а значения, находящиеся за доверительным интервалом, не согласуются с наблюденными оценками. Чем меньше вероятность а, тем ближе к единице вероятность выполнения равенства (П,34). Для фиксированного значения а оценка данного параметра тем точнее, чем меньше е. [c.305] Таким образом, если задаться доверительной вероятностью, то представится возможным построить доверительный интервал для покрытия вероятности р. [c.306] Как видно из формулы (П,42), распределение Стьюдента зависит от аргумента г и объема выборки п. Распределение по закону Стьюдента возможно, когда значения X — М ) и 8 независимы первое из них распределено нормально с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице а 8х распределено по закону (см. ниже) с (га — 1) степенями свободы Ю. [c.306] Вероятность выполнения условия (11,47) также равна (1 — Р). [c.307] Доверительные интервалы для дисперсии условного среднего и математического ожидания условной дисперсии находятся по оценкам этих величин так же, как и для дисперсии, согласно (11,47). [c.307] При определении доверительного интервала по оценке дисперсии условных средних число степеней свободы х -распределения равно п — 2), Это нужно учитывать, особенно для выборок небольшого объема. Число стененей свободы для средней условной дисперсии находится по объему выборки без двух за вычетом числа исследуемых взаимосвязанных величин к, т. е. (п к — 2). Другими словами, если рассматривается средняя условная дисперсия выходной переменной относительно двух входных переменных объекта, то распределение этой дисперсии соответствует х -распределению с га — 4 степенями свободы. [c.307] Аналогично, если дисперсия условных средних рассчитывалась по сгруппированным данньв , то число степеней свободы вычисляется по числу интервалов в ряду распределения. [c.307] Построение доверительной вероятности для коэффициента корреляции по формуле (П,53) в большинстве случаев может выполняться при расчете характеристик объектов, так как при этом г определяется для больших п и значение его невелико. [c.308] В случае, когда эти условия не соблюдаются, доверительный интервал находят, применяя преобразование Фишера4. [c.308] Аналогично определяется доверительный интервал для многомерных случаев. [c.309] Вернуться к основной статье