ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Основы регрессионного анализа, пассивный и активный эксперимент из "Теория технологических процессов основного органического и нефтехимического синтеза" Аппроксимация неизвестных зависимостей регрессионными уравнениями аналогична их разложению в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки. Коэффициенты так называемые коэффициенты регрессии, равны соответствующим производным в этой точке первого порядка, смешанным второго порядка и т. д. [c.428] С точки зрения химико-технологического исследования, величины х являются различными параметрами процесса (концентрации, давления, температуры, объемные скорости) они представляют собой независимые переменные и называются факторами. Функция у называется функцией отклика (или параметром оптимизации) и зависит от цели исследования — обычно это бывает селективность, степень конверсии, себестоимость, прибыль и т. д. [c.428] Задача исследования сводится к определению коэффициентов регрессии по результатам эксперимента при этом объект исследования рассматривается как кибернетический черный ящик с параметрами входа Xi и выхода у. Это вовсе не означает, что до начала исследования о поведении объекта не нужно иметь никаких сведений — наоборот, чем больше информации о свойствах объекта имеется к началу работы, тем более надежные и ценные результаты можно получить при ее выполнении. Это касается прежде всего выбора независимых переменных. Если они вводятся в рассмотрение только на основании общих соображений о том, что может влиять на данную функцию отклика, то в задачах химической технологии их число обычно оказывается чрезмерно большим. Практически всегда требуется ограничить объем задачи, отбросив ряд несущественных факторов, однако при этом нужно не запустить каких-либо важных параметров, что привело бы к большим ошибкам. Предварительные сведения, собственные или почерпнутые из литературы, помогают на этом этапе принять правильное решение при их отсутствии прибегают к опросу специалистов или даже ставят специальное предварительное исследование. [c.428] Регрессионный анализ является методом нахождения наилучших оценок коэффициентов регрессии на основании экспериментальных данных он заключается в минимизации суммы квадратов отклонений расчетных значений от опытных г/оп- При этом предъявляются следующие требования к экспериментальным результатам число опытов должно превосходить число коэффициентов регрессионного уравнения (включая и Ьо) или хотя бы не быть меньше него дисперсии опытных значений однородны во всех точках независимые переменные измеряются и фиксируются без ошибок, а функция отклика есть нормально распределенная случайная величина. [c.428] Нахождение наилучших оценок коэффициентов регрессии методом регрессионного анализа (иначе методом наименьших квадратов ) соответствует принципу максимума правдоподобия и заключается в решении системы алгебраических уравнений, получае- м ой приравниванием нулю частных производных 2 ( — УопУ по каждому из коэффициентов. Удобнее всего эти расчеты проводить в матричной форме. [c.429] Произведения на недиагональные элементы матрицы ошибок оценивают ковариации соответствующих факторов, т. е. указывают степень их статистической связи. [c.430] Регрессионный анализ служит для обработки экспериментальных данных независимо от того, как они были получены. Это могут быть результаты многолетней эксплуатации установки, когда в силу какйх-либо причин наблюдалось изменение значений факторов и фиксировалось изменение функции отклика. Чаще предпринимается специальное экспериментальное исследование при этом в зависимости от того, делаются или нет усилия для прида- ния матрице независимых переменных некоторого статистически выгодного вида, различают активный и пассивный эксперименты. [c.430] Пассивный эксперимент, сосют в постановке опытов, для которых матрица X содержит статистически невыгодную или вообще беспорядочную комбинацию независимых переменных х,-. Примером этого являются все ранее встречавшиеся способы обработки кинетических опытов путем их линеаризации на плоскости или методом наименьших квадратов. Причина появления такой матрицы при кинетических измерениях состоит в невозможности заранее предугадать значения концентраций при изменении времени реакции или объемной скорости. В этом случае расчет доверительных интервалов коэффициентов регрессии представляет собой трудную задачу из-за их закореллированности друг с другом. [c.430] Идея активного эксперимента была высказана Фишером, который показал путь устранения недостатков матрицы ошибок, получаемой в регрессионном анализе. Этот путь состоит в постановке опытов, при которых значения независимых переменных Xi варьируют по определенному плану. Так появился уже широко распространенный метод планирования эксперимента. Целью его является придание некоторНх особых свойств матрице независимьк переменных, которые позволяют получить, например, диагональную форму информационной матрицы и, следовательно, обратной ей матрицы ошибок. В последнее время показано, что наиболее полезным является планирование, приводящее к минимизации модуля определителя матрицы ошибок Ъ-оптимальные планы). [c.431] Все планы позволяют в большей или меньшей степени сократить число экспериментов, необходимое для решения поставленной задачи. Во многих случаях удается создать насыщенные или почти насыщенные планы (число опытов равно или почти равно числу коэффициентов в уравнении регрессии), дающие надежные оценки коэффициентов за счет своих статистических свойств. [c.431] С точки зрения соотношения между планированием и постановкой опытов во времени, планы разделяют на последовательные и априорные. В первом случае по результатам нескольких экспериментов первой серии оценивают матрицу ошибок, а условия дальнейших экспериментов (каждого в отдельности или по се- риям) выбирают таким образом, чтобы наиболее быстро придать этой матрице желаемые свойства, обычно D-оптимальность. Такой подход очень выгоден, но он почти всегда требует применения ЭВМ й пока употребляется мало. Для априорных планов харак- терен предварительный выбор координат всех опытов, т. е. задание матрицы независимых переменных — матрицы плана — до начала экспериментальной работы опыты ставятся далее при тех условиях, которые определены соответствующей точкой плана (строкой матрицы). Это требует, естественно, чтобы экспериментатор мог давать независимым переменным любые требуемые планом значения, что возможно только при отсутствии явной зависимости между факторами. Примером является использование планов для изучения кинетики реакции по начальным скоростям, когда все факторы (концентрации, температуру) можно варьировать Независимо друг от друга, заранее задаваясь их значениями при постановке опытов. [c.431] Чрезвычайно важным условием правильного осуществления эксперимента по плану является его рандомизация, т. е. специальное устранение какого-либо порядка в выполнении опытов. Рандомизация позволяет устранить систематические ошибки, например изменение какого-либо неучтенного параметра в ходе выполнения плана, сведя их к случайным ошибкам. Поэтому опыты плана нужно выполнять не в порядке их нумерации, а случайным образом. [c.431] Геометрическая интерпретация перечисленных задач позволяет сделать их наглядными и упрощает понимание выводов. При этом используются понятия факторного пространства и поверхности отклика. По аналогии с декартовыми координатами, говорят, что совокупность значений функции отклика, отвечающих всем возможным значениям независимых переменных, образует поверхность отклика в факторном пространстве, размерность которого определяется числом независимых переменных. Различные планы представляют собой совокупности точек в факторном пространстве, выбранных по определенному правилу. [c.432] Вернуться к основной статье