ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Обобщенная модель реактора непрерывного действия из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Теория индексов, разработанная Пуанкаренаходит широкое применение в топологии, функциональном анализе и в качественных исследованиях динамических систем. Эта теория позволяет выявить некоторые общие законы совместного существования различных типов положений равновесия и замкнутых траекторий динамических систем. [c.78] Рассмотрим расположенную в этом векторном поле простую замкнутую кривую N, не проходящую через положения равно-Be HiT системы (111,1) (рис, 111-11). Проследим, как будет по-ворачидаться вектор, соответствующий какой-либо точке S кривой Л, при движении точки по этой кривой. [c.79] Когда точка S закончит обход кривой и вернется на прежнее место, вектор повернется на угол 2я/, где / — целое число, не зависящее от формы кривой N. [c.79] Оно считается полол нтельным, если направление вращения вектора совпадает с направлением обхода, в противном случае оно отрицательно. [c.79] Число / называется индексом замкну- Рис. 111-11. Замкнутая той кривой по отношению к рассматри- кривая в векторном поле, ваемому векторному полю. [c.79] Если внутри кривой N расположено одно положение равновесия, то индекс определяется топологическим характером этой особой точки и называется индексом Пуанкаре данного положения равновесия. [c.79] Рассматривая рис. 111-12, можно убедиться, что индекс Пуанкаре для узла (рис. 111-12, а) и для фокуса (рис. 111-12,6) равен +1 для седла (рис. 111-12, в) индекс равен —1. [c.79] Следствие 1. Внутри замкнутой фазовой траектории находится по крайней мере одно положение равновесия, так как индекс такой траектории равен +1, а индекс замкнутой кривой, внутри которой нет положений равновесия, равен нулю. [c.80] Следствие 2. Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одно положение равновесия, то оно не может быть седлом. [c.80] Следствие 3. Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся только простые положения равновесия, то их число всегда нечетное, причем число седел на единицу меньше числа узлов и фокусов. [c.80] Из утверждения о равенстве индекса цикла без контакта плюс единице ясно, что следствия /, 2, 3 относятся не только к замкнутым фазовым траекториям, но и к циклам без контакта. [c.80] Полученные с помощью индексов Пуанкаре выводы и нх следствия применим к математическим моделям реакторов непрерывного действия, что позволит получить полезные результаты, касающиеся числа стационарных состояний. [c.80] Так как физический смысл имеют лишь положительные значения х w у, то рассматривается только 1-я четверть фазовой плоскости, что в дальнейшем уже не будет оговариваться. [c.81] Из условий 3) и 5) видно, что это уравнение имеет по крайней мере один корень. [c.82] В силу условия 4) функция Q(X,y is,K ) является монотонно возрастающей в то же время при х = Хо эта функция обращается в нуль, что вытекает из определения Умакс- Следовательно, при х Хо, т. е. на интересующем нас отрезке прямой у = = Умакс, dyldx О (за исключением обозначенного на рис. 111-13 буквой М правого конца этого отрезка — точки, для которой dyldx = 0). [c.82] Докажем теперь, что все положения равновесия системы (111,30) заключены внутри прямоугольника без контакта. Для этого вспомним, что положения равновесия являются точками пересечения главных изоклин, т. е. кривых Р (х, г/) = О и Q (х, у) = = 0. Доказательство сводится к установлению того факта, что вне прямоугольника без контакта хотя бы одна из функций Р и Q отлична от нуля. [c.82] Справа от прямоугольника, т. е. при х Хо, Р(х, у) 0. [c.82] Под прямоугольником, т. е. при у Уо, Q x,y) 0. [c.82] Осталось установить, что над прямоугольником в области, определяемой неравенствами х Хо, у умакс и заштрихованной на рис. 111-14, Q x, у)Ф 0. [c.82] Как было показано выше на нижней границе этой области— отрезке LM Q = Q(х, г/макс) О (за исключением точки. М, принадлежащей изоклине горизонтальных наклонов). Таков же знак Q внутри заштрихованной области, еслн внутри этой области не расположены какие-либо ветви изоклины горизонтальных наклонов Q x,y) =0. [c.82] Вернуться к основной статье