ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Динамическая система второго порядка из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Если состояние динамической системы описывается двумя переменными, то фазовое пространство двумерно, то есть в простейшем случае представляет собой плоскость. [c.27] Решение этого уравнения определяет интегральные кривые, т. е. такие кривые на фазовой плоскости, наклон касательных в каждой точке которых задается уравнением (1,35). Каждая из фазовых траекторий системы (1,33) является интегральной кривой уравнения (I, 35) или по крайней мере ее частью. [c.27] Таким образом, положениям равновегия системы (1,33) соответствуют особые точки уравнения (1,35). [c.28] Выражения х = Xs, у = ys дают одно из решений системы (1,33) это означает, что положению равновесия соответствует фазовая траектория, состоящая из одной точки. А так как фазовые траектории не могут пересекаться, то изображающая точка, движущаяся по какой-либо фазовой траектории, может достичь положения равновесия лишь при т- - - оо (или т— — оо). [c.28] Геометрическое место точек фазовой плоскости, в которы) правая часть уравнения (I, 35) имеет постоянное значение, пред ставляет собой изоклину интегральных кривых этого уравнения Кривая Q(a , г/) = О является изоклиной горизонтальных накло нов, кривая Р х, у) = О—изоклиной вертикальных наклонов Обе эти изоклины называются главными изоклинами. [c.28] Положения равновесия являются общими точками главных изоклин, т. е. либо точками их касания, либо точками пересечения. Нас в первую очередь будут интересовать простые положения равновесия, которым соответствуют точки пересечения, а не касания главных изоклин. Это ограничение связано с требованием грубости исследуемых динамических систем. [c.28] Математическое описание физического процесса никогда не может быть совершенно точным. Это связано прежде всего с тем, что при составлении дифференциальных уравнений мы не можем учесть все факторы, оказывающие влияние на исследуемый процесс. В частности, разделяя все величины, фигурирующие в уравнениях, на переменные величины и параметры, мы не учитываем влияния, которое оказывает ход процесса, т. е. изменение переменных величин, на значения параметров. Но и пренебрегая этим влиянием, мы не можем считать значения параметров фиксированными, так как они находятся опытным путем и, следовательно, являются приближенными числами. [c.28] Из того факта, что математическое описание процесса является приближенным, нельзя, однако, делать вывод о его недостоверности. Математическая модель какого-либо явления может претендовать на достоверное отображение определенных черт этого явления в том случае, когда эти черты не исчезают при незначительном изменении дифференциальных уравнений. Математические модели, удовлетворяющие этому требованию, называются грубыми, а соответствующие им системы — грубыми системами. [c.28] Естественно, что требование грубости накладывает определенные ограничения на положения равновесия исследуемых систем в первую очередь это относится к исключению из рассмотрения касания главных изоклин, о котором говорилось выше. В самом деле, если положение равновесия соответствует не пересечению, а касанию главных изоклин, то всегда можно найти малое изменение параметров, входящих в функции Р(х, у) и Q(x, ), которое приведет либо к исчезновению точки касания, либо к ее расщеплению на две или большее число точек пересечения. [c.29] Рассмотрим, как определяется устойчивость положений равновесия динамических систем второго порядка. [c.29] Заметим, что в рассматриваемом простом случае неравенства (1,40), определяющие устойчивость положения равновесия, могут быть получены элементарным путем — исходя из свойств корней квадратного уравнения (1,37). [c.29] Ознакомимся теперь с типами простых положений равновесия динамических систем второго порядка. [c.29] Для простых положений равновесия должно выполняться условие А =7 0. Если А = О, то положение равновесия соответствует точке касания главных изоклин и называется сложным . [c.29] Для сложных положений равновесия по крайней мере один из корней характеристического уравнения равен нулю. [c.30] Для простых положений равновесия в зависимости от значений корней XI и Х2 характеристического уравнения может осуществляться один из четырех случаев. [c.30] Положение равновесия называется узлом. Вид фазовых траекторий в окрестности узла показан на рис. 1-1. [c.30] Если Ул и Х2 отрицательны, то с ростом т изображающие точки приближаются к положению равновесия, стремясь к нему при т- оо. Положение равновесия будет устойчивым узлом. Стрелки на фазовых траекториях рис. 1-1 соответствуют устойчивому узлу. [c.30] Если а О и соответственно а О, то с ростом т изображающие точки удаляются от положения равновесия положение равновесия будет неустойчивым фокусом. [c.31] Если а О и, следовательно, о О, то с ростом т изображающие точки приближаются к положению равновесия (как на рис. 1-2), стремясь к нему при т- оо. Положение равновесия будет устойчивым фокусом. [c.31] Рассмотрение осциллограмм л и у показывает, что когда изображающая точка приближается к устойчивому фокусу, в системе происходят затухающие колебания. В случае устойчивого узла процесс приближения к положению равновесия будет апериодическим. [c.31] Вернуться к основной статье