ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Техника расчета и методы минимизации из "Конфирмации органических молекул" Как показывают два примера, приведенные в конце раздела этой главы, конформации сложных молекул могут быть рассчитаны только на ЭВМ ручные вычисления крайне трудоемки и часто не приводят к желаемым результатам из-за их низкой точности. Важным шагом в составлении программы является выражение координат атомов через выбранные независимые геометрические параметры (в некоторых случаях удается, не вычисляя координат, выразить необходимые расстояния между валентно не связанными атомами). Затем рассчитываются межатомные расстояния, валентные и двугранные углы и составляется выражение для энергии напряжения. Вычисление потенциальной функции оформляется в виде отдельного блока, если программа написана в машинном коде, или в виде процедуры, если используется алгоритмический язык. После этого процедура-функция используется в основной программе, построение которой определяется харак--тером поставленной задачи. [c.123] Укажем несколько основных задач теоретического конформационного анализа. [c.123] К сожалению, эффективного способа поиска глобального минимума нет и для существенно многоэкстремальных задач, по-видимому, в принципе быть не может. Ситуация в этом случае аналогична положению слепца, попавшего в горную местность и обладающего лишь одним прибором — высотомером чтобы найти самую глубокую или самую высокую точку, ему требуется обойти, прощупать всю местность. Один из наиболее эффективных методов, позволяющих быстро проходить по местности (по потенциальной поверхности) — это описанный ниже метод оврагов. И все же если число локальных минимумов очень велико — порядка 100 и более — то любой метод, в том числе и метод оврагов оказывается бессильным. [c.124] Остановимся подробнее на методе вычисления потенциальной функции и методах решения сформулированных задач конформационного анализа. [c.125] Процедура вычисления потенциальной функции может быть оформлена двумя способами 1) Задают ЪМ декартовых координат атомов (Л — число атомов в молекуле), затем, исходя из них, находят длины связей, валентные и двугранные углы и подставляют полученные значения в выражение для энергии напряжения, например, в (2.93). При поиске равновесной конформации в качестве независимых переменных используют все ЗЛ декартовых координат. 2) Сначала выбирают независимые геометрические параметры, описывающие геометрию молекулы — длины связей, валентные углы и углы вращения. Затем через них выражают декартовы координаты атомов, находят расстояния между атомами и, используя потенциалы невалентных взаимодействий, вычисляют энергию напряжения. Минимизация в этом случае проводится по внутренним параметрам — валентным и двугранным углам связи можно считать жесткими. [c.125] Первый способ действий удобнее второго в том отношении что он не требует подготовительной работы, связанной с выбором внутренних координат и выражением компонент потенциальной функции через эти координаты. Но за простоту программ приходится платить машинным временем. Чтобы найти равновесную конформацию молекулы циклобутана (см. рис. 3.3), требуется минимизировать потенциальную функцию по 36 координатам, и даже, если учесть симметрию то размерность задачи сведется лишь к 21. При втором способе действий, приняв некоторые упрощающие предположения, можно обойтись значительно меньшим числом независимых переменных. Так, в том же циклобутане можно принять валентные связи абсолютно жесткими и допустить, что углы НСН делят пополам углы ССС цикла. Тогда всего лишь четырех параметров — двугранного угла а, одного угла ССС и двух углов НСН — будет достаточно для описания геометрии. [c.126] выбор внутренних координат в качестве независимых параметров выгоднее, поскольку, во-первых, число параметров, по которым должна быть проведена минимизация потенциальной функции, меньше, чем при выборе в качестве исходных параметров декартовых координат атомов, и, во-вторых, в потенциальную функцию легко могут быть введены необходимые упрощения. [c.126] Для разветвлений, отходящих от главной цепи, применяется тот же метод последовательных преобразований. На рис. 2.17 показано разветвление у /-го атома. В нем тоже можно выбрать главную цепь и, обозначив ее атомы через (i, 1), (i, 2),. .., провести преобразование по вторым индексам. Поскольку у каждого атома бывает не более двух разветвлений (при этом мы исключаем из рассмотрения многовалентные атомы и атомы, образующие большое число координационных связей), то универсальная программа расчета координат атомов может быть применена для любых органических молекул. [c.127] Простой выход из этого затруднения был предложен А. А. Лу-говским и В. Г. Дашевским [171] стягивающий потенциал вводится лишь на первом этапе минимизации, когда атом 1 (см. рис. 2.17) может не дотянуться до атома N. Затем при соблюдении ряда условий этот потенциал выключается и минимизация ведется по 2К — 6 независимым переменным. Более сложные условия замыкания цикла, позволяющие проводить вычисления для фиксированных длин связей и валентных углов, были найдены в работе [172]. [c.128] Если поиск начинается из нулевого приближения, далекого от минимума, то выгоднее всего использовать линейные методы, в частности метод скорейшего спуска. Однако в окрестности минимума эти методы дают медленную сходимость, и тогда более эффективными оказываются квадратичные методы. [c.129] Метод сопряженных градиентов обычно дает более быструю сходимость, чем метод скорейшего спуска, поскольку он не так инертен на поворотах траектории поиска. Недостаток его состоит в том, что при удалении от начальной точки происходит накопление ошибок в вычислении очередного направления спуска. По этой причине траектория поиска, практически дойдя до минимума, может из него выскочить . [c.130] Обозначим через точку, соответствующую решению (2.111.) Тогда движение по направлению от kj i будет соответствовать спуску к центру эллипсоида, т. е. [c.131] Остается решить два вопроса — как вычислить производные и как найти оптимальное значение /г, соответствующее минимуму функции на прямой (это необходимо делать и в методе скорейшего спуска). [c.131] Вычисляя функцию в каждой из этих точек, найдем такое для которого U x ) U Xm h- Тогда точку Хт1 можно принять за минимум на направлении спуска и для следующей итерации считать ее нулевой, т. е. убрать нижний индекс. [c.132] Описанный метод поиска минимума на прямой, с квадратичной интерполяцией, является весьма эффективным, но не оптимальным. Оптимальные стратегии сложнее (они основаны на последовательности чисел Фибоначчи) их описание можно найти в [173]. Но дихотомия (удвоение приращения или деление его пополам) почти не уступает по своей эффективности оптимальной стратегии, и потому ее можно рекомендовать как самую простую и вместе с тем достаточно эффективную стратегию. Заметим, что вместо малого т можно было выбрать и достаточно большое значение, такое, что при = д ( ) + функция возрастает. Затем т половинится до тех пор, пока функция не станет убывать. Очевидно, эти два способа действий равносильны, если пренебречь тем обстоятельством, что при большом т точка иногда может выйти из области притяжения искомого локального минимума. [c.133] квадратичные методы более эффективны для нахождения точного положения минимума, чем линейные. Но в рассмотренном выше методе Ньютона — Рафсона каждая итерация стоит слишком дорого, поскольку приходится вычислять матрицу вторых производных Ьц [выражение (2.110)]. Поэтому немало усилий математиков было направлено на то, чтобы получить эквиваленты этого метода, но без расчета вторых производных. В работах [182—190] предложено несколько эффективных алгоритмов минимизации сравнение некоторых из них на различных функциях проведено в [186, 191, 192]. [c.133] Из упомянутых алгоритмов следует остановиться на методе параллельных касательных [182], применявшемся в конформационном анализе 1193]. Идея его состоит в следующем. Возьмем точку (рис. 2.18о) и найдем в этой точке касательную к линии уровня (пока мы ограничиваемся двумерной функцией). [c.133] Нетрудно провести обобщение этого метода на многомерный случай, сделав поиск детерминированным, т. е. отказавшись от выбора произвольной точки Рис. 2.186 и 2.18виллюстрируют две процедуры поиска которая из них является более эффективной, заранее сказать трудно, поскольку это зависит от локального устройства функции. [c.134] Из формул (2.120) и (2.121) понятно, почему на рис. 2.186 и 2.18б пропущены точки л . Что же касается шагов Лз,. .., /г, . .., то они в каждом случае находятся из условия минимума функции на прямой. [c.134] Метод параллельных касательных, обходясь без дорогостоящего вычисления вторых производных, практически не уступает в скорости сходимости методу Ньютона — Рафсона, но... нет метода без недостатков. Скорость сходимости резко уменьшается, если минимумы на направлениях вычисляются неточно, особенно в процедуре (2.121). С другой стороны, точное определение минимума на прямой обходится слишком дорого — для этого уже недостаточно описанной выше квадратичной интерполяции. [c.134] Вернуться к основной статье