ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Последовательная реакция типа из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Двумя сторонами этого прямоугольника будут отрезки прямых У=У0 и х=г. [c.130] Вычисление первой ляпуновской величины оз с помощью ЭВМ показывает, что аз 0 при всевозможных значениях параметров по всей кривой 0=0. Это означает, что при переходе в пространстве параметров из какой-либо области, где 0 О, в область, где а 0, неустойчивый фокус, становясь устойчивым, порождает неустойчивый предельный цикл. [c.131] В системе (IV, 10), как показано ниже, кроме рождения цикла из фокуса, имеют место следующие случаи рождение цикла из петли сепаратрисы, рождение цикла из уплотнения траекторий и рождение цикла из сложного цикла. [c.131] Для области 2 плоскости уо, г (см. рис. 111-16) система имеет одно положение равновесия— неустойчивый узел или фокус. Поскольку выше было доказано, что бесконечность неустойчива, то из этого следует, что положение равновесия должно быть окружено устойчивым предельным циклом. Фазовый портрет системы, соответствующий этому случаю, подобен изображенному на рис. 1У-19. [c.131] При переходе из области 2 в область 1 (см. рис. 111-16) неустойчивый фокус становится устойчивым и порождает неустойчивый предельный цикл. Следовательно, для области I (вблизи границы 1—2) вокруг устойчивого фокуса имеется два цикла — неустойчивый и устойчивый, показанные на рис. 1У-20. На этом рисунке, так же как и на фазовых портретах, которые будут приведены ниже, пунктиром показан неустойчивый предельный цикл. [c.131] При уо (1/4) фазовая плоскость не содержит предельных циклов, следовательно при перемещении по области I (см. рис. [c.131] Еспи двигаться по плоскости уо, г в обратном направлении, то из уплотнения траекторий родится полуустойчивый цикл, разделяющийся потом на устойчивый и неустойчивый (см. рис. 1У-20). [c.131] При переходе из области 1 в область 2 (см. рис. HI-16) неустойчивый цикл стягивается в фокус, который становится неустойчивым (см. рис. IV-19). [c.132] Рассмотрим теперь, какие фазовые портреты возможны для вариантов разбиения плоскости г/о, г, показанных на рис. ИМб.а, б. [c.132] Для области 3 система имеет три положения равновесия, из которых два устойчивы, а третье, расположенное между ними, является седлом. Обозначим (как и в главе П1 при рассмотрении этой модели) седло буквой С, устойчивые положения равновесия — буквами А я В. [c.132] Фазовый портрет системы (рис. 1У-21,а) подобен портрету электронного устройства, называемого триггером (см., например, [1, с. 346]). Сепаратрисы, входящие в седло, отделяют область устойчивости в большом стационарного состояния А (точнее часть этой области, содержащуюся в прямоугольнике без контакта) от области устойчивости стационарного состояния В. Пока начальные условия соответствуют точкам одной из этих областей, в системе устанавливается либо стационарное состояние А, либо стационарное состояние В. Но, как и в триггере, достаточно большое возмущение может перебросить изображающую точку через сепаратрисы, входящие в седло, т. е. в область устойчивости в большом другого стационарного состояния, которое в конечном счете и установится. [c.132] Бифуркация, происходящая на границе 1—6 (см. рис. П1-16), заключается в появлении седло-узла, который в области 6 разделяется на седло и неустойчивый узел (см. рис. 1У-22,а). На границе 6—3 (см. рис. П1-16) из положения равновесия А рождается неустойчивый цикл (рис. 1У-21,б). [c.132] Таким образом, для области 3 (см. рис. П1-16) имеются две различные качественные картины 1У-21,а и 1У-21,б. [c.132] Переход от одной картины к другой возможен только при бифуркациях, связанных с возникновением петли сепаратрисы седла и рождением из нее (или влипанием в нее) устойчивого или неустойчивого предельного цикла устойчивого, если для седла о 0, неустойчивого, если сг 0. [c.132] На плоскости параметров уо, г (см. рис. П1-16) знак а для седла меняется на участке кривой о = 0, проведенном пунктиром. Можно показать, что над этим участком а 0, под ним а 0. [c.132] для вариантов а, б разбиения плоскости уо, г (см. рис. И1-16) возможны фазовые портреты, приведенные на следующих рисунках для области 1 — рис. 1У-18 для области 3 — рис. М-2, а,б,г (фазовый портрет, приведенный на рис. 1У-21,в опущен, так как он относится к моменту бифуркации, когда система будет негрубой) для области 6 — рис. 1У-22, а. [c.133] Поскольку все фазовые портреты приводятся с точностью до четного числа циклов, то для области 1 (см. рис. ПМ6) наряду с портретом, приведенным на рис. IV-18, возможен и приведенный на рис. 1У-20, но последний не является необходимо осуществляющимся, как это будет в вариантах разбиения плоскости г/о, г. приведенных на рис. 111-16, в—д. [c.134] Как ясно из вышесказанного, для варианта, показанного на рис. 111-16, е, возможны следующие фазовые портреты для области I — приведенные на рис. IV-18 и 1у-20 для области 2 — приведенные на рис. 1У-19. [c.134] Для области 3 вблизи границы 1—3 (см. рис. [c.134] Вернуться к основной статье