ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Простейшие бифуркации динамических систем второго порядка из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Динамика исследуемой системы может считаться изученной только тогда, когда нам известно, как меняется характер ее поведения при изменении значений параметров. [c.113] Если в первом случае при 0 = 0о система была грубой, то во втором случае при 0 = 0о она будет негрубой. [c.114] Пусть бифуркации происходят при значениях параметра 0ь 02,. 6з,. .если откладывать значения 0 вдоль некоторой прямой,.можно разбить ее на отрезки, разделяемые точками бифуркации. Внутри каждого отрезка система является грубой, в точках бифуркации — негрубой, после перехода через точку бифуркации в ту или иную сторону — снова грубой, но уже с другой топологической структурой фазового портрета. [c.114] В более общем случае, когда правые части дифференциальных уравнений содержат несколько параметров, можно говорить о бифуркационных кривых, поверхностях, гиперповерхностях, разделяющих пространство параметров на области, внутри каждой из которых топологическая структура фазового портрета остается неизменной. Зная разбиение пространства параметров на такие области и характер бифуркаций, происходящих на их границах, мы в принципе можем построить фазовый портрет системы для любой точки пространства параметров, если он известен только для одной из этих областей. [c.114] Определение структуры разбиения пространства параметров и характера фазового портрета для каждой из областей этого пространства — завершающий этап качественного исследования динамической системы. [c.114] Установление типов бифуркаций динамических систем и условий, при которых они происходят, составляет предмет теории бифуркаций. Как ясно из вышесказанного, теория бифуркаций играет большую роль при исследовании конкретных динамических систем. Примеры ее применения для исследования динамики химических реакторов приводятся ниже. Заметим, что уже в работе 13] было указано на связь между теорией бифуркаций и интерпретацией критических условий химической кинетики. [c.114] Рассмотрим теперь простейшие бифуркации, которые могут осуществляться в динамических системах второго порядка. [c.114] Распадение сложного положения равновесия на простые. Если рассматривать коэффициенты характеристического уравнения а и А, как параметры исследуемой системы, то диаграмма Д, о (см. рис. 1-5) позволяет получить некоторое представление о разбиении пространства параметров. В частности, в этом разбиении участвует ось ординат плоскости Д, а — прямая Д=0. При переходе от а и Д к другим параметрам аналогичную роль будет выполнять кривая, отвечающая соотношению между параметрами, полученному из условия Д = 0. [c.114] Как уже говорилось в главе I, при А=0 положение равновесия является сложным и соответствует касанию главных изоклин. Малое изменение параметров приводит, вообще говоря, к изменению взаимного расположения главных изоклин теперь они или не будут иметь общих точек, или будут иметь по крайней мере две точки пересечения. Это означает, что при изменении параметро происходит либо исчезновение сложного положения равновесия либо его распадение на дба (или больше число) простых. [c.115] Простейшим Примером такой бифуркации является слияние седла и узла в сложное положение равновесия типа седло-узел с последующим его исчезновением (рис. IV-5a—в). [c.115] Описывая, как меняется фазовый портрет системы при этой бифуркации, примем для простоты, что уравнения содержат лишь один параметр. [c.115] На рис. IV-5, а изображена часть фазовой плоскости вблизи расположенных рядом седла и узла. Будем изменять значение параметра так, чтобы седло и узел сближались в момент бифуркации они сольются, образовав седло-узел (рис. IV-5, б). При дальнейшем изменении значения параметра в том же направлении седло-узел исчезает (рис. 1V-5, в). [c.115] Нетрудно понять, что происходит в интересующей нас части фазовой плоскости, если значение параметра изменяется в обратном направлении при бифуркационном значении параметра на фазовой плоскости появляется седло-узел (рис. IV-5, б), в дальнейшем распадающийся на два простых положения равновесия — узел и седло (рис. IV-5, а). [c.115] НЫЙ цикл или, наоборот, предельный цикл, окружавший точку равновесия, стягивается в нее. [c.116] Рассмотрим более подробно, что при этом происходит на фазовой плоскости. [c.116] Стягивание устойчивого предельного цикла в фокус. При изменении значения параметра в противоположном направлении устойчивый предельный цикл, окружавший неустойчивый фокус (рис. IV-6, б) стягивается в фокус, который становится устойчивым (рис. IV-6, а). [c.116] Рождение неустойчивого предельного цикла. Неустойчивый фокус (рис. IV-7, а), становясь устойчивым, порождает неустойчивый предельный цикл (рис. IV-7, б). [c.116] При превращении устойчивого фокуса в неустойчивый, т. е. при а (0о) О, где 0о — бифуркационное значение параметра, осуществляется либо бифуркация I, либо бифуркация IV. [c.116] При превращении неустойчивого фокуса в устойчивый, т. е. при о (0о) 0, осуществляется либо бифуркация III, либо И. [c.116] Если а (0о) О, то при аз(0о) О осуществляется бифуркация III, при аз(9о) 0—бифуркация П. [c.118] Вернуться к основной статье