ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Динамическая система второго порядка из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Если состояние динамической системы описывается двумя переменными, то фазовое пространство двумерно, т. е. в простейшем случае представляет собой плоскость. [c.26] Рещение этого уравнения определяет интегральные кри-в ы е, т. е. такие кривые на фазовой плоскости, наклон касательных в каждой точке которых задается уравнением (1,33). Каждая нз фазовых траекторий системы (1,31) является интегральной кривой уравнения (1,33) или по крайней мере ее частью. [c.27] В точках, для координат которых выполняются равенства (1,32), уравнение (1,33) теряет смысл эти точки называются особыми т о ч к а м и уравнения (1,33). [c.27] Таким образом, положениям равновесия системы (1,31) соответствуют особые точки уравнения (1,33). [c.27] Выражения x=xs, y==ys дают одно из решений системы (1,31) это означает, что положению равновесия соответствует фазовая траектория, состоящая из одной точки. Можно показать, что изображающая точка, движущаяся по какой-либо фазовой траектории, может достичь положения равновесия лишь прн +оо (пли т- --оо). [c.27] Геометрическое место точек фазовой плоскости, в которых правая часть уравнения (1,33) имеет постоянное значение, представляет собой изоклину интегральных кривых этого уравнения. Кривая Q x,y)=0 является изоклиной горизонтальных наклонов, кривая Р(х,у)=0 — изоклиной вертикальных наклонов обе они называются главными изоклинами (или н у л ь - и з о к л и п а-м и). [c.27] Положения равновесия являются общими течками главных изоклин, т. е. либо точками их касания, либо точками пересечения. Нас в первую очередь будут интересовать простые положения равновесия, которым соответствуют точки пересечения, а не касания главных изоклин. Это ограничение связано с требованием грубости исследуемых динамических систем. [c.27] Кратко остановимся на понятии грубости динамической системы [28, с. 427 39 40]. [c.27] Математическое описание физического процесса никогда не может быть совершенно точным. Это связано прежде всего с тем, что прн составлении дифференциальных уравнений мы не можем-учесть все факторы, оказывающие влияние на исследуемый процесс. В частности, разделяя все величины, фигурирующие в уравнениях, на переменные величины и параметры, мы не учитываем влияния, которое оказывает ход процесса, т. е. изменение переменных величин, на значения параметров. Но и пренебрегая этим влиянием, мы не можем считать значения параметров фиксированными, так как они находятся опытным путем и, следовательно, являются приближенными. [c.27] Более конкретно определение грубых систем можно сформулировать так грубыми называются динамические системы, сохраняющие качественный характер расположения фазовых траекторий при достаточно малых изменениях параметров, входящих в дифференциальные уравнения. [c.28] Естественно, что требование грубости накладывает определенные ограничения на характер положений равновесия исследуемых систем в частности, оно приводит к исключению из рассмотрения точек касания главных изоклин, о чем говорилось выше. В самом деле, если положение равновесия соответствует не пересечению, а касанию главных изоклин, то всегда можно найти малое изменение параметров, входящих в функции Р х, у) и Q x,y) которое приведет либо к исчезновению точки касания, либо к ее расщеплению на две или большее число точек пересечения. [c.28] Рассмотрим, как определяется устойчивость положений равновесия динамических систем второго порядка. [c.28] Заметим, что в рассматриваемом случае неравенства (Г,38), определяющие устойчивость положения равновесия, могут быть получены элементарным путем — исходя из свойств корней квадратного уравнения (1,35). [c.28] Ознакомимся теперь с типами простых положений равновесия динамических систем второго порядка. [c.28] Для простых положений равновесия должно выполняться условие Л= 0. Если А = 0, то положение равновесия соответствует точке касания главных изоклин и называется сложным. Для сложных положений равновесия по крайней мере один из корней характеристического уравнения равен нулю. [c.29] Для простых положений равновесия в зависимости от значений корней XI и Х2 характеристического уравнения может осуществляться один из четырех случаев. [c.29] Положение равновесия называется узлом. Вид фазовых траекторий в окрестности узла показан на рис. 1-1. [c.29] Если У.1 и Х2 положительны и соответственно о 0, то с ростом времени т изображающие точки, выбранные на любой из траекторий, удаляются от положения равновесия. Положение равновесия будет неустойчивым узлом. [c.29] Если XI и Х2 отрицательны, то с ростом т изображающие точки приближаются к положению равновесия, стремясь к нему при т-)-оо. Положение равновесия будет устойчивым узлом. Стрелки на фазовых траекториях, изображенных на рис. 1-1, соответствуют устойчивому узлу. [c.29] Положение равновесия называется фокусом. Вид фазовой плоскости в окрестности фокуса показан на рис. 1-2. Все фазовые траектории представляют собой спирали, навивающиеся на положение равновесия. [c.30] Вернуться к основной статье