ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Использование уравнений сохранения для решения задач о теплообмене из "Явления переноса" В главе 3 и в предыдущих разделах этой главы мы вывели три уравнения сохранения для чистых жидкостей, причем каждое из уравнений было выражено в нескольких различных формах. Целесообразно теперь дать общую сводку всех уравнений, чтобы, во-первых, представить читателю своеобразный толковый словарь всевозможных форм записи уравнений переноса и, во-вторых, облегчить нахождение наиболее рациональных способов решения задач о переносе энергии и количества движения в однородных сплошных средах. Такая сводка приведена в табл. 10-2 и 10-3, где в целях краткости использованы векторные и тензорные обозначения. Почти каждое из уравнений снабжено ссылкой на место в тексте, где это уравнение встречается впервые. Некоторые уравнения, помещенные в таблицах, в тексте книги не фигурируют, и читателю будет полезно проделать их вывод самостоятельно. [c.296] В табл. 10-2 дана сводка уравнений сохранения для частного случая постоянных значений р, х и Несмотря на указанное ограничение, эти уравнения находят широкое применение при решении задач теплопереноса. [c.296] В табл. 10-3 уравнения сохранения записаны через потоки т и в двух системах координат, связанных соответственно с неподвижным наблюдателем, который движется вместе с потоком. Все формы записи уравнения сохранения энергии в точности эквивалентны уравнению (10.9), за исключением уравнений (г) и (о). [c.296] В главе 3 было показано, что гидродинамические задачи значительно проще и надежнее формулировать на основе общей системы уравнений неразрывности и движения, чем путем составления дифференциальных балансов массы и количества движения для каждого конкретного случая. Аналогично, как видно из дальнейшего, наиболее рациональный способ формулировки задач теплообмена — применение системы уравнений неразрывности, движения и сохранения энергии. В каждом отдельном случае эту систему можно упростить, пренебрегая теми или иными эффектами. Для иллюстрации возможных способов зшрощения, учитывающих особенности условий теплообмена в различных системах, ниже рассмотрены примеры, большинство из которых связано с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые более сложные системы, представляющие интерес с точки зрения инженерной практики и поддающиеся описанию только в рамках системы дифференциальных уравнений в частных производных, обсуждены в главе 11. [c.300] Имея в виду уравнение неразрывности, можно приравнять нулю левую часть уравнения движения и опустить последний член в его правой части. После этого уравнение движения легко интегрируется. В результате получается параболический профиль скоростей, который уже был выведен и обсужден в разделе 2.3. Если данный профиль подставить в уравнение (10.32), то последнее примет вид (9.152). Аналогично, произведя соответствующие упрощения в уравнениях сохранения, можно сформулировать и другие задачи, приведенные в главе 9. [c.301] Пример 10-1. Тангенциальное течение в кольцевом канале при наличии тепловыделения за счет вязкости. Найти распределение температуры в несжимаемой ньютоновской яшдкости, заключенной между двумя коаксиальными цилиндрами, если внепший цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью (см. раздел 9.4 и пример 3-1). Использовать обозначения, введенные при рассмотрении примера 3-1. Считать, что величина к достаточно мала, вследствие чего необходимо учитывать кривизну линий тока в жидкости. Принять также, что смоченные поверхности внешнего и внутреннего цилиндров находятся при заданных температурах Тг и Течение считать установившимся и ламинарныиг температурную зависимость величин р, ц и X не учитывать. Этот пример — типичная иллюстрация задачи о теплопереносе в условиях вынужденной конвекции. Для решения ее требуется сначала найти профиль скоростей, затем подставить этот профиль в уравнение сохранения энергии и, наконец, решив последнее уравнение, получить выражение для распределения температуры. Указанная задача представляет интерес в связи с тепловыми эффектами, возникающими при вискозиметрических измерениях. [c.301] Температура в точке максимума превышает, как легко видеть, и Г,, и У,. [c.302] Последнее выражение вытекает из теории Эйринга, которая была обсуждена в разделе 1.5. Значение констант А ш В, входящих в это уравнение, предполагаются известными из эксперимента. Принимается также, что концевыми вффектами и эффектом вязкой диссоциации энергии в пленке можно пренебречь. [c.302] В этом примере необходимо найти распределение температуры пзгтем совместного решения уравнений непрерывности и сохранения энергии. [c.304] Здесь величина ш, представляет собой радиальную массовую скорость течения газа. [c.304] Из рис. 10-2 видно, что явление охлаждения при пропускании газа чере пористые перегородки можно использовать в качестве способа уменьшения скоростей теплообмена. Этим способом охлаждают, например, головные части космических ракет при входе последних в плотные слои атмосферы. Эффект охлаждения за счет пропускания газа через пористые перегородки может играть важную роль в тех случаях, когда процессы тепло- и массопереноса протекают одновременно (см. раздел 20.5). [c.306] Пример 10-4. Теплоотдача от вертикальной пластины в условиях естественной конвекции. Плоская пластина, нагретая до температуры Уо, погружена в большой объем жидкости, находящейся при температуре Т . Из-за наличия подъемной силы слои жидкости, прилегающие к пластине, начинают двигаться вверх (рис. 10-3). Применяя уравнения сохранения, найти зависимость тепловых потерь от характеристических параметров системы. Физические свойства жидкости можно считать постоянными с тем лишь исключением, что уравнение движения должно использоваться в форме, допускающей существование естественной конвекции. [c.306] Следует обратить внимание на то, что в уравнение движения входит неизвестная разность температур Т—Т , а уравнение, описьшаюпцее распределение температуры, зависит от неизвестного распределения скоростей. Таким образом, уравнения движения и сохранения энергии в данном случае зацеплены друг за друга и не могут быть решены по отдельности. Аналитическое решение системы зацепленных нелинейных дифференциальных уравнений совдяжено с весьма серьезными трудностями. Поэтому мы ограничимся здесь приближенным рассмотрением задачи в рамках анализа размерностей. [c.307] Из последней системы уравнений и граничных условий непосредственно следует, что безразмерные компоненты скоростей ф , и рг, так же как и безразмерная температура в, зависят от безразмерных координат т) и и от числа Прандтля. Поскольку гидродинамические потоки, возникаюшде из-за наличия естественной конвекции, обычно обладают очень малыми скоростями, члены в уравнении движения, которые включают Рг, как правило, вносят весьма малый вклад в сопоставлении с членами, описываюпщми молекулярный перенос (приравнивание нулю инерционных членов в уравнении движения соответствует приближению ползущего течения ). Исходя из этого, можно заключить, что зависимость профиля температур от числа Прандтля должна быть слабой. [c.308] Безразмерная температура, а значит, и производная д /дг зависят от т), 5 и Рг. Поэтому значение производной при т] = О должно обусловливаться только и Рг. Следовательно, определенный интеграл по должен представлять собой безразмерную функцию числа Прандтля. На основании предыдущих рассуждений может быть сделан вывод о том, что эта функция [которая в формуле (10.80) обозначена через С] является очень слабой и ее можно считать приблизительно постоянной величиной. [c.308] На основании проведенного рассмотрения, не зная аналитического решения задачи, можно заключить, что средний тепловой поток прямо пропорционален разности температур в степени / и обратно пропорционален высоте пластин Н в степени Д. Обе указанные зависимости наблюдаются на опыте. Единственно, чего не позволяет сделать метод анализа размерностей, это предсказать зависимость величины С (и, значит, среднего теплового потока) от числа Прандтля. [c.308] Можно показать [5], что в определенных условиях реализуется такой режим течения газа, при котором практически все изменения скоростей, температур и давлений происходят в пределах крайне узкой области пространства, называемой ударной волной (рис. 10-5). В указанных условиях принятые выше допущения о постоянстве поперечного сечения канала и о плоской форме профиля скоростей становятся излишними, поскольку совершенно очевидно, что решения уравнений сохранения в узкой области, которая представляет собой область резкого изменения скоростей, температур и давлений, должны быть одномерными (если, конечно, границы области, занимаемой ударной волной, перпендикулярны линиям тока). [c.309] Задача заключается в том, чтобы, исходя из общих уравнений сохранения, сформулировать условия, при которых возможно существование ударной волны, и найти распределения скоростей, температур и давлений внутри нее. Данную задачу требуется решить в рамках предположения о стационарном одномерном течении идеального газа. Изменения величин ц, Я, и Ср с изменением температуры и давления при этом можно не учитывать. [c.309] Вернуться к основной статье