ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Распределения скоростей, зависящие от двух или более переменНеустановившееся вязкое течение из "Явления переноса" В заключение рассмотренной выше темы, посвященной общей формулировке дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих законы сохранения, и выяснению их значения, обсудим эти уравнения еще с точки зрения теории подобия и размерностей. Для простоты ограничим анализ системами с постоянной плотностью и вязкостью. Однако такое рассмотрение можно легко распространить на случай, когда указанные величины изменяются . [c.104] В уравнении (3.99) член pQ — некоторое подходящее стандартное значение давления. [c.105] если в двух различных гидродинамических системах масштабные коэффициенты таковы, что числа Фруда и Рейнольдса для них одни и те же, то тогда обе системы описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями в безразмерных переменных. Если, кроме того, записанные в безразмерной форме начальные и граничные условия одинаковы (это возможно только в том случае, когда две разные системы геометрически подобны), то эти две системы с точки зрения математического описания идентичны. Другими словами, распределение безразмерной скорости г х, у, г, t ) и распределение безразмерного давления р (х, у, z, ) одинаковы для каждой из изучаемых систем. Про такие системы говорят, что они динамически подобны . При масштабировании процессов, механизм которых для нас недостаточно ясен, часто желательно сохранять динамическое подобие, как показано в приводимом ниже примере. [c.106] Найти глубину центральной воронки при стационарном движении жидкости в большом резервуаре без отражательных перегородок (рис. 3-8), заполненном маслом, как функцию скорости мешалки. Сделать это предполагается путем проведения модельных опытов в геометрически подобном сосуде меньших размеров. Поэтому определим условия, при которых следует осуществлять модельные испытания, чтобы обеспечить правильный способ предсказания результатов. [c.106] Здесь 51 и 52 — поверхпости воронки в большом и малом сосудах р — атмосферное давление. [c.107] Малый аппарат I =0 при 2 = 0 Т. [c.107] Уравнения (3.119) и (3.120) характеризуют условия геометрического подобия. Очевидно, что чем детальнее описание поверхности с нулевой скоростью, тем больше мы должны иметь таких геометрических соотношений. На практике могут оказаться существенными даже относительная шероховатость внутренних поверхностей резервуара и размеры головок болтов. Соотношение (3.121), вероятно, может быть удовлетворено, если форма центральных воронок одинакова, так как 5 (г/Д , г/В ) и (г/В , г/В ) — форма воронок, записанная в безразмерных координатах. [c.108] Мы подошли, наконец, к весьма любопытному результату, что динамическое подобие (для данного примера подобие центральных воронок) не может быть достигнуто в случае использования в обоих сосудах одной и той же жидкости. Предпочтительно, чтобы в меньшем сосуде применялась менее вязкая жидкость. При линейных размерах малого аппарата, составляющих половину соответствующих размеров большого аппарата, кинематическая вязкость в нем должна отвечать значению кинематической вязкости масла в большом аппарате, 5Гмноженному на 1//8. [c.108] Если в обоих резервуарах использовать одну и ту же жидкость при одинаковом числе Рейнольдса, то тогда число Фруда и центральная воронка в малом резервуаре будут соответственно больше и глубже (пунктирная кривая на рис. 3-8). [c.109] В результате предварительного испытания выяснилось, что концевые эффекты значительны. Поэтому было решено прокалибровать вискозиметр, производя измерения на нескольких известных растворах с примерно такой же вязкостью, как вязкость испытываевшх растворов сахарозы. [c.110] Получить выражение для распределения скорости в аппаратах такого типа вак функцию приложенного вращающего момента при ламинарном течении ньютоновской жидкости. Концевые эффекты во внимание не принимать. [c.110] Замечание. Проведенный ранее анализ был формально корректен. Однако в данном случае следует потшить, что пепьютоновская модель Оствальда — Вейля — эмпирическая, поэтому она неточно описывает поведение реальных жидкостей. [c.112] Здесь Р — некоторая общая для обеих формул постоянная и х = os 0. [c.115] Здесь 0 = (i/G — характеристическое время для жидкости G — модуль сдвига. Путем подстановки в уравнения движения компонентов т по уравнению (3.155) можно решать гидродинамические задачи для движений с малой амплитудой. [c.115] В настоящей задаче рассмотрен пример периодического решения линеаризованного уравнения движения. Говоря линеаризованное , мы полагаем, что членом [г .уг ]в уравнении движения можно пренебречь. Говоря периодическое , мы подразумеваем ниже, что локальная скорость движения жидкости является синусоидальной функцией времени. [c.115] Дать физическую интерпретацию подученных результатов. [c.117] Вначале рассмотрим течение неограниченного объема жидкости вблизи стенки, внезапно приведенной в движение. В этой задаче показывается применение метода замены переменныл, который позволяет свести уравнение в частных производных к одному обыкновенному дифференциальному уравнению. Данный метод решения возможен только в том случае, когда два граничных условия могут быть объединены в одно. Нужно отметить, что такая гидродинамическая система никогда не достигает предельного стационарного состояния. [c.119] Во втором примере анализируется переходный режим течения вязкой жидкости в трубе. Задача решается методом разделения переменных, который позволяет привести уравнение в частных производных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Этот вид течения все же имеет предельный профиль скорости, когда время устремляется к бесконечности, т. е. гидродинамическая система достигает стационарного состояния. [c.119] Вернуться к основной статье