ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Аналитические функции встречаются на каждом шагу из "Абстракция в математике и физике" Перейдем к следующему удивительному свойству аналитических функций они встречаются всюду, их очень много. Почему это удивительно Из геометрии известно, что чем больше свойств у некоторого класса фигур, тем, вообще говоря, этот класс уже. Так, у всех параллелограммов диагонали делят друг друга пополам, но только у ромбов они еще и взаимно перпендикулярны. Поэтому обилие общих свойств у класса аналитических функций может навести на мысль, будто этот класс очень узок. Трудно подобрать слова, которые с достаточной силой охарактеризовали бы ошибочность подобного предположения. Пожалуй, лучше дать краткое описание совокупности всех аналитических функций. [c.72] Во-первых, это все полиномы, все тригонометрические функции и логарифм. Во-вторых, это все суммы, произведения и отношения двух аналитических функций при условии, что у них есть общий круг, в котором обе функции аналитичны. В-третьих, это все сложные функции, составленные из аналитических, например 81п1п(1 + ж ). [c.72] Следующий ярус составляют решения линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются аналитическими функциями. Сюда входят так называемые специальные функции функции Лежандра, Бесселя (Фридрих Бессель, 1784-1846), гипер-геометрические и многие другие. О важности этих функций свидетельствует то, что почти все они тщательно изучены и табулированы. Заметим еще, что во всех перечисленных до сих пор случаях никакой проверки на аналитичность не требуется. Существуют общие теоремы, охватывающие все эти случаи и гарантирующие аналитичность рассматриваемой функции. [c.72] После всего сказанного читатель с пониманием отнесется к шутливому признанию некоего математика. Оно начинается словами От друзей я слыхал, что не все функции являются аналитическими . Возможно, и физик Редже, создатель одного из направлений физики элементарных частиц, тоже не знал , что бывают неаналитические функции. Во всяком случае, его теория основана на предположении о том, что некоторая очень важная, но, к сожалению, в каждом конкретном случае неизвестная функция является аналитической. Очень показательно, что из такого, казалось бы, малоинформативного предположения удалось извлечь множество важных выводов. И это не единственный случай. [c.73] Вернуться к основной статье