ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Физические величины как векторы из "Абстракция в математике и физике" Векторы, о которых мы говорили до сих пор, представляют собой геометрические векторы. Их свойствами являются свойства, которыми мы их наделили, и это было наше право. Рассмотрим какие-либо физические векторы (например, скорость или силу). Будут ли все они обладать свойствами, которыми мы наделили геометрические векторы Для ответа на этот вопрос нужно обратиться к физике. Подчеркнем, что другого пути нет. К счастью, физика дает на него положительный ответ. Ничего удивительного — скажет читатель — математические векторы были введены по образцу физических. [c.43] Это верно, но сама возможность позаимствовать свойства у физических векторов предполагает, что подобные свойства у них одинаковы. Кстати, тот факт, что в классической механике скорости складываются по правилу параллелограмма, хотя и справедлив, но не является очевидным, поскольку в теории относительности это не так. [c.43] Как ни удивительно, на поставленный вопрос можно внятно ответить. Попытаемся это сделать. С этой целью обратимся к трем системам координат — К2 и К , получающимся одна из другой соответствующими вращениями. Рассмотрим координаты некоторого физического вектора в каждой из них. Переход от координат вектора в системе К1 к системе можно совершить двумя разными способами либо непосредственно, либо в два шага, сначала найдя координаты в системе К2, а затем перейдя из нее в систему А 3. Мы пока не знаем формул перехода между системами координат, но убеждены в том, что они существуют. Более того, эти формулы должны обладать следующим свойством оба способа перехода от системы координат К1 к системе всегда должны приводить к одному и тому же результату. [c.43] Сделаем вывод. Вектор является не просто совокупностью трех произвольных чисел. Это математический объект, изображаемый в каждой системе своей тройкой чисел. Задание такой тройки в одной системе координат однозначно определяет соответствующие тройки во всех системах координат, получаемых вращением исходной системы. Фактический переход от одной системы координат к другой совершается по тем же формулам, что и для геометрических векторов. [c.44] Здесь нет логического противоречия. Мы расширили класс рассматриваемых систем координат, и если в старом, более узком классе все физические векторы вели себя как векторы-стрелки, то это не значит, что такое послушное поведение сохранится и в расширенном классе координатных систем. Анализ показывает, что для вектора существует только два варианта перехода к инверсной системе либо все его координаты умножаются на минус единицу, либо не меняются вовсе. В первом случае мы будем по-прежнему называть его вектором, во втором присвоим ему название псевдовектора. Напряженность магнитного поля является псевдовектором, а электрического — вектором. Легко видеть, что векторное произведение двух векторов — псевдовектор. Последнее можно сказать и о векторном произведении двух псевдовекторов. Аналогично каждое число является либо скаляром, либо псевдоскаляром. Скаляр во всех системах координат имеет одно и то же значение. Псевдоскаляр умножается на минус единицу при переходе к инверсной системе координат и не изменяется при любом вращении системы координат. Скалярное произведение любого вектора на псевдовектор является псевдоскаляром. [c.44] Если речь идет о конкретном виде физического вектора, например о напряженности электрического поля, то физика знает, как он выглядит в разных системах координат. Это знание получено экспериментальным путем и может быть подтверждено анализом системы уравнений электромагнитного поля. Последняя, как и всякая другая система физических законов, должна иметь одинаковый вид во всех неподвижных друг относительно друга системах координат. Пе нужно думать, что этого можно достичь, просто потребовав, чтобы проекции напряженностей электрического и магнитного полей не менялись при переходе от одной системы к какой-либо другой, повернутой относительно нее системе. Ничего не получится Дело в том, что содержащиеся в уравнениях Максвелла производные по координатам от этих полей преобразуются друг через друга по своим правилам. Чтобы компенсировать происходящие при этом изменения в системе уравнений, электромагнитное поле тоже должно преобразовываться. Можно проверить, что требуемые преобразования как раз такие, какие испытывают векторы и псевдовекторы при указанных преобразованиях систем координат. [c.45] Мы подошли к черте, за которой угадываются теория четырехмерных векторов специальной теории относительности и инвариантность уравнений Максвелла относительно перехода от одной инерциальной системы координат к другой, движущейся относительно нее системе. [c.45] Об этом и многом другом читатель узнает, ознакомившись с четвертой главой второй части книги. [c.45] Вернуться к основной статье