ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Математические модели процессов нестационарной теплопроводности и конвективного теплообмена из "Методы расчёта задач тепломассопереноса Издание 2" Линейные уравнения Онзагера (1.1) для потоков теплоты, массы вещества и т. д. приводят к системе взаимосвязанных дифференциальных уравнений в частных производных относительно потенциалов переноса. [c.11] Для вывода уравнения молекулярного переноса предположим, что состояние изотропного тела определяется п различными величинами и процесс их переноса происходит под действием п обобщенных сил X , Хг,. .., Х , потенциалами которых являются скалярные функции U x,y,zJ), U2(x, у, Z, t), Unix, у, z, f) координат X, y, z w времени t. Предполагается также, что любой элементарный объем тела содержит все компоненты рассматриваемых п величин. [c.11] Так как интеграл равен нулю при произвольном объеме V, то отсюда следует, что подынтегральная функция равна нулю, т. е. [c.13] Поскольку книга посвящена аналитическому методу решения краевых задач нестационарной теплопроводности и кондуктивно-конвективного теплообмена, приведем уравнения несвязанного переноса, которые описывают эти процессы. [c.14] Решению внутренних задач кондуктивно-конвективного теплообмена при течении теплоносителя в трубах и каналах при различных известных скоростях w (у, z) будет посвящена гл. 4. [c.16] Если в уравнении (1.27) положить 1=х1 Н (— т=0, то получим преобразованное уравнение теплопроводности (1.18) для неограниченной пластины толщиной 2Н (—Таким образом, уравнение нестационарной теплопроводности (1.27) объединяет три уравнения для пластины (т = 0), цилиндра (/п=1) и шара (т—2). В дальнейшем это позволит нам одной математической моделью сформулировать краевую задачу нестационарной теплопроводности для трех классических тел и построить для нее одно решение. [c.18] Дифференциальное уравнение теплопроводности, выведенное на основе общего закона сохранения энергии, устанавливает в дифференциальной форме связь между скоростью изменения температуры во времени и пространственными изменениями температуры в любой точке тела, внутри которого происходит процесс теплопроводности. Уравнение теплопроводности (1.17) имеет бесчисленное множество решений. Например, если функция Т х, у, г, () является решением уравнения (1.17), то функция и(х, у, г, 1) = = Т х, у, 2, 1)+С1Х- -С2У+Сзг, где Сй=соп51, =1, 2, 3, также удовлетворяет этому уравнению. Чтобы из множества решений выделить то единственное частное решение, которое будет описывать искомое температурное поле рассматриваемого процесса, необходимо дополнительно задать начальные и граничные условия однозначности, которые определяют единственность решения задачи теплопроводности. [c.18] Начальные и граничные условия однозначности, которые в совокупности называются краевыми условиями, содержат информацию о распределении температуры внутри тела в начальный момент времени и о закономерности теплового взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела. [c.18] Дифференциальный оператор переноса L[T M, /)] является оператором восприятия (отклика) каждой внутренней точки проводника теплоты на внешнее тепловое воздействие ф(Ма, t), проявляемое через оператор I на поверхности S. Сравнив (1.37) с граничными условиями (1.29) — (1.31), читатель легко может выписать явный вид оператора I. [c.20] В тех случаях, когда функция внещнего температурного возмущения не зависит от координаты точки Ms и является только функцией времени t, для осесимметричных тел (пластина, цилиндр, шар, эллипсоид, параболоид вращения, призматические тела с сечением в виде правильного многоугольника и т. д.) краевые задачи нестационарной теплопроводвости образуют группу задач при симметричных граничных условиях. Для этих задач изотермические поверхности в каждый фиксированный момент времени квазиподобны геометрической форме поверхности тела. [c.20] В прикладной инженерной теплофизике рассматриваются задачи при смешанных граничных условиях, когда на отдельных частях поверхности тела задается одно из условий (1.29) —(1.31), различных в каждой части поверхности. Например, тепловые расчеты стенок теплоограждающих конструкций, паропроводов и других деталей в форме пластины, полого цилиндра и шаровой оболочки приводят к решению задач нестационарной теплопроводности при смешанных граничных условиях, которые заданэтся в различных сочетаниях условий (1.29) — (1.31) на внутренней и внешней поверхностях стенки. [c.20] В заключение параграфа приведем аналитический вид граничных условий для пластины, цилиндра и шара в безразмерных координатах, т. е. условия однозначности для уравнения (1.27). [c.20] Поскольку в твердых телах основным видом переноса теплоты является кондукция, граничные условия четвертого рода используются для решения задач стационарной и нестационарной теплопроводности в многослойных телах с различными теплофизическими свойствами в каждом слое. Отметим, что решения задач нестационарной теплопроводности для слоисто-однородных тел в настоящее время все больше используются для изучения теплофизических свойств композиционных материалов, которые наиболее эффективно применяются в металлургии, авиационной и космической технике. [c.22] При исследовании задач нестационарной теплопроводности при больших температурах, когда внешней контактирующей средой является жидкость или газ, даже при свободной конвекции не всегда приемлем закон Ньютона для формулировки граничных условий третьего рода. В таких случаях теплофизический процесс. более точно описывается математической моделью сопряженных задач теплообмена, решения которых связаны с определением температурного поля не только внутри исследуемого тела, но и в омывающей среде. При этом для решения сопряженных задач на границе твердое тело — жидкость также используются граничные условия (1.44), (1.45), где T iMJ) будет температурным полем внешней среды (жидкости или газа). [c.22] Задачи теплопроводности и кондуктивно-конвективного теплообмена в случае, когда теплопроводность, удельная теплоемкость и вязкость являются переменными величинами и зависят от температуры, становятся нелинейными. В уравнениях переноса дифференциальные операторы теплового восприятия нелинейны и температурные поля, как отклик системы даже при тепловых нагружениях с линейными граничными условиями, не могут быть определены по принципу суперпозиции. Это является первым и основным затруднением в разработке методов решения нелинейных задач. [c.23] Существуют нелинейные задачи теплообмена, которые связаны с нелинейными тепловыми нагружениями на поверхности тела. К ним относятся, например, задачи нестационарной теплопроводности с учетом теплового излучения поверхности тела. [c.23] Задачи с нелинейными граничными условиями вида (1.46) принято называть задачами с внешней нелинейностью в отличие от задач с внутренней нелинейностью, которые связаны с наличием нелинейностей в дифференциальном операторе теплового восприятия. [c.23] Одним из эффективных методов определения аналитических решений краевых задач математической физики, в том числе задач нестационарной теплопроводности [89, 91] и задач взаимосвязанного тепло- и мас-сопереноса, является метод интегральных преобразований. Он имеет ряд преимуществ перед другими известными классическими методами. Применение интегральных преобразований с различными ядрами, во-первых, стандартизирует метод определения аналитического решения для широкого класса однотипных задач и при этом значительно упрощает промежуточные математические преобразования, во-вторых, позволяет находить решения при переменных внутренних источниках теплоты и усложненных граничных условиях, в-третьих, позволяет находить решения в виде, удобном для инженерных расчетов. [c.24] В последующих параграфах приводятся более подробные сведения о приведенных выше и других интегральных преобразованиях, которые наиболее часто используются в аналитической теории теплопроводности, а сейчас остановимся на общих замечаниях и выводах. [c.25] Если в равенствах (2.1-)—(2.5) изображения F (и) считать известными, то получим интегральные уравнения относительно оригиналов f(x) и восстановление /(A )=L- [F(a)] по существу сводится к решениям этих уравнений. [c.25] Вернуться к основной статье