ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ НЕПОЛАДОК из "Обнаружение и диагностика неполадок в химических и нефтехимических процессах" В этой главе мы даем описание некоторых статистических методов используемых для принятия решения при обнаружении неполадок и на примерах иллюстрируем возможности их применения. Объяс няется терминология, а так е приводятся статистические характе ристики, которыми мы будем пользоваться в последующих главах Кроме того, обсуждаются доверительные пределы и проверка гипо тез как средства, помогающие в диагностировании и классификации состояний процесса. [c.26] Прогресс вычислительной техники безусловно сделал анализ данных значительно менее утомительным и увеличил возможности исследователя решать сложные задачи. Совершенствование методов обработки данных и их представления, а также методов распознавания образов позволяет предполагать возможность еще более революционного развития. Если исследователь хочет воспользоваться преимуществами, которые дает этот прогресс, он должен обладать определенными индивидуальными способностями. Во-первых, и это наиболее очевидно, исследователь обязан иметь прочные и многосторонние знания в области техники и математики. Во-вторых, он должен быть достаточно сообразительным, чтобы понять, где можно эффективно применить те методы, которые излагаются в этой книге. В-третьих, необходимо, чтобы он хорошо понимал процесс, технологическое оборудование и структурные связи между потоками материалов, сигналы приборов и т. д. [c.27] В этой главе будет дана необходимая статистическая основа для обнаружения и диагностики неполадок, а также приведены примеры принятия решений с использованием статистических методов для иллюстрации главных принципов. Вместо того, чтобы задавать вопрос работает ли это , мы задаем более правомерный вопрос какова вероятность того, что это работает . [c.27] Существует много причин, вследствие которых наблюдения или измерения, сделанные в экспериментах, оказываются в большей степени случайными стохастическими), а не детерминированными. В реальных заводских условиях производственные шумы, периодические сигналы и другие помехи влияют на все измерения. Кроме того, неопределенность возникает из-за того, что модели процессов в действительности не отображают адекватно физические явления. В общем с отсутствием строгой детерминированности измерений исследователь сталкивается повсюду в своей работе. [c.27] На рис. 2.1 показаны три временные типичные диаграммы а, б, в случайной переменной X (/) на конечном интервале времени. Термин ансамбль обычно используется для семейства функций X ( ), которое представляет собой набор всех возможных временных диаграмм экспериментальных измерений X. Эти графики могут представлять повторные серии на одной и той же аппаратуре или одновременные серии на идентичной аппаратуре. [c.28] Сам ансамбль, как одна временная запись и как группа одновременных экспериментов, тоже имеет случайный характер. Некоторые случайные переменные можно выразить явными функциями, тогда как другие — только графически или с помощью табулированных данных. Эргодическая переменная — это такая переменная, для которой средние по времени, т. е. средние для типичной записи, такой как а на рис. 2.1, равны средним по ансамблю, т. е. средним по всем возможным временным записям, а, б, в и т. д., при заданном времени. Для удобства мы просто примем, что измеряемые случайные переменные являются эргодическими, хотя в большинстве случаев это допущение трудно поддается проверке. [c.28] Аргумент в левой части определения (2.1.1) означает все значения случайной переменной X (1) меньше детерминированной величины X или равны ей . В рамках частотного подхода мы должны были бы иметь большое число временных кривых N в момент времени 1 , таких как показано на рис. 2.1, и посмотреть, выполняется ли условие X (О л . В предельном случае бесконечного числа кривых мы таким образом получим функцию Р. Ясно, что значения Р заключены в интервале между нулем и единицей. Типичное распределение накопленной вероятности представлено на рис. 2.4 в разделе 2.1.4. [c.29] Аналогичные соотношения можно написать и для распределения накопленной вероятности второго порядка. [c.30] Непрерывные переменные процесса известны тем, что они не являются независимыми, поскольку на значение переменной в данный момент времени влияют более ранние значения. Случайная переменная называется стационарной (в строгом смысле слова), если плотности распределения вероятности всех порядков инварианты относительно переноса начала отсчета времени. [c.30] Если плотность распределения р (х t) не зависит от времени, то величина р.х = М Х (О является постоянной. [c.31] Если плотность распределения р (х t) не зависит от времени, то аргумент величины X может быть опущен. [c.31] Заметим, что г у не является случайной переменной, но может зависеть от времени. Рассмотрим рис. 2.2. Две случайные переменные X я являются некоррелированными, если Е ХК = = Е Х Е У, и независимыми, если р (х, у) = р (х) р (у). Если случайные переменные X и V независимы, то они также и некор-релированы. Некоррелированность — более слабое условие, чем независимость, поскольку если случайные переменные X и V являются некоррелированными, то в общем случае Е / (X) g (7) Ф Ф Е (Х) E g Y)]. Но если X и К независимы, то Еи(Х)ЦУ)] =E f(X)]E giY) . [c.32] Если случайные переменные X к У являются некоррелированными, то ковариация и коэффициент корреляции равны нулю. Для того чтобы вычислить Гху (т) и Гух (т), необходимо только выполнить расчеты для % 0 из-за симметричности свойств этих двух функций. [c.33] Нам необходимо упомянуть о двух распределениях вероятности, которые играют важную роль в принятии решения при обнаружении неполадки. [c.34] Когда получено достаточно много экспериментальных данных, то прежде, чем вы примите, что они описываются нормальным распределением вероятности, желательно 1) проверить распределение их относительных частот, используя критерии согласия, как описано в примере 2.8 2) построить график накопленной суммы частот на нормальной вероятностной бумаге [которая линеаризует Р (х) благодаря использованию специальной шкалы] или 3) выполнить другие уместные проверки, описанные в книгах по математической статистике. Хотя нормальное распределение вероятности правильно представляет многие наборы экспериментальных данных, для удобства оно часто приписывается также тем данным, в которых переменные непрерывны, но не распределены по нормальному закону. Делается это по следующим причинам. [c.35] Обычно распределение вероятности для переменной процесса неизвестно, так что математические ожидания в разделе 2.1.3 нельзя вычислить непосредственно. В то же время исследователь хочет получить оценки плотности распределения вероятности, но в большинстве случаев он располагает просто оценками среднего значения, дисперсии и т. д. Существует два основных метода оценивания характеристик ансамбля 1) с использованием конечной случайной выборки из наблюдений или измерений, полученных в повторных экспериментах на основании различных временных записей 2) с использованием единственной временной записи одного эксперимента. Для эргодической переменной выборки эквивалентны. [c.36] В принципе термином выборочная статистика или просто статистика обозначается некоторое число, рассчитанное по выборке из наблюдений или измерений случайной переменной. Таким образом, оценки параметров плотности распределения вероятности, распределения накопленной вероятности, моделей процесса или оценки характеристик ансамбля, полученные из экспериментальных наблюдений, являются статистиками. Однако слово статистика имеет двойной смысл оно означает и правило вычисления статистики (т. е. некую функцию), и значение этой статистики. Нужный смысл будет ясен из контекста. Помните, что статистики — случайные переменные. [c.36] В этом разделе мы рассмотрим выборочное среднее значение и выборочную дисперсию случайной переменной X, а также их соответствующие распределения вероятностей. [c.36] Таким образом, таблицы нормального распределения можно использовать для заключений о плотности распределения вероятности выборочного среднего X. [c.37] Кроме того, дисперсия выборочного среднего X (для независимых измерений) —это Var = оУп. Положительное значение квадратного корня из Var Х называется выборочным среднеквадратичным стандартным) отклонением. Таким образом, выборочные средние значения сами являются случайными величинами с таким же математическим ожиданием, что и для X, и со стандартным отклонением, равньм Ох/У п. На рис. 2.6 показано, как уменьшается дисперсия выборочного среднего X при увеличении объема выборки. [c.37] Вернуться к основной статье