ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Математическое введение из "Начала квантовой химии" Квантово-химические методы основываются на определенных разделах математической теории. В связи с этим в данной гааве напомним идеи теории линейных пространств и, не претендуя на полное и детальное изложение, приведем некоторые более специальные понятия, словарь математических терминов и формулировки математических утверждений, необходимые для последующего изложения материала. Из курса квантовой механики обсуждаются преимущественно лишь те вопросы, которые будут важны для построения и анализа многоэлектронных волновых функций. [c.4] Отметим, что порядок следования элементов в этих обозначениях обратный. В дальнейшем ряд формул будем писать дважды, используя как одно, так и другое обозначение скалярного произведения. [c.4] Если (ф,1р) = О, то вектора ф к р называют ортогональными. [c.5] Пространство К называют и-мерным, если в нем существует и линейно независимых векторов, а любые и+1 вектора из ЗС - линейно зависимы. Пространство Ж может быть конечномерным и бесконечномерным. В квантовой физике в качестве бесконечномерного пространства ЗСисполь-зуется так называемое гильбертово пространство. Переход от конечно-мерногС к бесконечномерному пространству отнюдь не прост и требует детального математического исследования, см. [32]. В то же время для практических целей в большинстве случаев можно считать, что пространство Ж имеет сколь угодно большое, но конечное число измерений и. [c.5] Величины Ujk образуют унитарную матрицу. [c.6] Если некоторое множество Ж векторов из К, не совпадающее с Ж, само образует линейное пространство (конечномерное или бесконечномерное гильбертово), то Ж называют подпространством в Ж. [c.6] Линейная оболочка конечного числа векторов Фх,. .., фщ из ЗСвсегда образует подпространство в Ж. Если вектора фх, , Фт линейно независимы, то они образуют базис подпространства, и размерность подпространства равна т. В этом случае говорят, что подпространство натянуто на вектора фх. фт, как на базис. [c.6] Задание базиса в пространстве Ж означает представление пространства Ж в виде прямой суммы одномерных подпространств. [c.6] Два подпространства в Ж ортогональны, если любой вектор одного подпространства ортогонален любому вектору другого подпространства. [c.6] Если в Ж задана ортонормированная система е , Сщ (т и) и матрица L с элементами L i к, I = 1,2,. .., т), то тем самым адан линейный оператор L в подпространстве Ж, натянутом на вектора е , вт, как на базис. [c.8] С блочными матрицами можно работать по тем же формальным правилам, как и с обычными числовыми матрицами, если помнить, что в отличие от обычных матриц элементы блочной матрицы некоммутативны (негерестановочны), так как они сами являются матрицами. [c.9] Если пространство ЗС представлено в виде прямой суммы подпространств, инвариантных относительно L, то блочная матрица этого оператора будет блочно диагональной, т.е. все не диагональные блоки представляют собой нулевые матрицы. В этом случае диагональный блок будет определять в инвариантном подпространстве оператор, который называется сужением оператора L на инвариантное подаространство. [c.9] В случае линейного самосопряженного оператора L с чисто дискретным спектром все пространство Ж можно представить в виде прямой суммь одномерных инвариантных относительно L пространств. Это означает, что можно ввести такой ортонормированный базис, в котором матрица оператора L будет диагональна. Элементами этого ортонорми-рованного базиса являются собственные вектора оператора Ь, а элементами диагональной матрицы собственные числа оператора L. [c.9] Если т собственных чисел оператора Ь совпадают меж/ у собой, то соответствующие одномерные инвариантные относительно Ь подпространства однозначно не определяются. Однозначна определяется только их прямая сумма, т.е. инвариантное относительно , подпространство размерности, равной кратности вырождения т собственного числа. [c.10] Оказьшается, что любой оператор, удовлетворяющий (1.23) и (1.24), есть оператор проектирования на какое-то подпространство. [c.10] Пусть размерность ЗСесть и, размерность К - т. Введем ортонормированный базис бь. .., е , в Л и ортонормированный базис вщ + 1. [c.10] Отметим, что в случае многозначной функции надо выбирать определенную ветвь [в (1.34) взято арифметическое значение корня]. [c.11] Операторы действуют в пространстве X и предполагаются самосопряженными относительно введенного там скалярного произведения. Пространство ЗС - это, как правило, пространство состояний системы. В случае одной бесспиновой частицы элементами пространства ЗС являются волновые функции ф(г) = ф(х, у, z), т.е. интегрируемые с квадратом модуля функции трех переменных. Волновая функция одного электрона зависит от четырех аргументов добавляется спиновая степень свободы, а волновая функция многозлектронной системы - от многих четверок аргументов, относящихся к отдельным электронам. В еще более сложных случаях пространство состояний может состоять из векторных, или тензорных функций многих переменных и т.д. [c.12] Вернуться к основной статье