ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Структура математического описания процесса из "Введение в моделирование химико технологических процессов " Детерминированные модели. Математические описания (математические модели) процессов, получаемые на детерминированной основе, настолько разнообразны, что выделить их общие черты вряд ли возможно. Напомним сказанное в разделе 1 разные модели могут отражать различные стороны одного и того же процесса и в связи с этим иметь совершенно разную структуру. [c.124] При моделировании процессов химической технологии чаще всего наиболее важно описать протекание основного процесса (химического, массообменного и т. д.). Правда, бывают случаи, когда важнейшую роль играют другие стороны процесса — например, прочность аппаратуры. Но мы не будем рассматривать эти случаи. Сузив таким образом задачу, можно сформулировать общие основы математических описаний. [c.124] В основе описаний протекания химических реакций, массообмена и теплообмена лежат обобщенные уравнения материального и теплового балансов (шире — баланса энергии, но во многих важных задачах он сводится к балансу тепла . [c.124] Уравнения (21.1) и (21.2) можно применять как к каждому веществу по отдельности, так и ко всей совокупности веществ, участвующих в процессе. [c.124] В свою очередь, приход и расход вещества и тепла определяются макрокинетикой процессов. Поэтому структура описания процесса в конечном счете определяется его макрокинетикой. Подробнее этот вопрос рассмотрен в следующей главе. Здесь мы отметим лишь следующее. В зависимости от особенностей макрокинетики и от степени изученности объекта описание может содержать различные математические структуры. Чаще всего это уравнения, обычно — системы уравнений. Вкратце рассмотрим главные классы уравнений, встречающиеся в типичных детерминированных описаниях. [c.125] Конечные уравнения. Они не содержат операторов дифференцирования и интегрирования. Их можно разделить на два подкласса алгебраические, в которых над переменными производятся только действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональным показателем, и трансцендентные, в которые входят другие функции от переменных (показательные, тригонометрические и др.). В общем описания в виде конечных уравнений наиболее просты, хотя, разумеется, сложность существенно зависит от числа уравнений и от вида входящих в них функций. Обычно наиболее просто решаются алгебраические уравнения 1-й степени (линейные), наиболее сложно — трансцендентные. [c.125] Обыкновенные дифференциальные уравнения. Содержат функции лишь от одной независимой переменной. Сложность исследования модели, состоящей из них, определяется рядом обстоятельств. Она возрастает с ростом порядка уравнения (или, что практически эквивалентно этому, с ростом числа дифференциальных уравнений в системе, поскольку уравнение т-го порядка всегда можно преобразовать в систему из т уравнений 1-го порядка). [c.125] Еще существеннее на сложность решения и исследования влияет линейность или нелинейность уравнений. Линейные уравнения решаются гораздо проще для них разработан ряд специальных методов — например, операционное исчисление, познакомиться с которым можно по математической литературе. Решение систем линейных дифференциальных уравнений —т задача, к решению которой очень хорошо приспособлены аналоговые вычислительные машины. [c.125] Нелинейность не только резко усложняет решение, но и вносит добавочные сложности. В поведении объектов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, обнаруживается целый ряд особенностей, предсказать которые, как правило, бывает трудно. В разделе 15 мы уже сталкивались с таким случаем. Пока речь шла о реакциях 1-го порядка (скорость которых описывается лилейным дифференциальным уравнением), для анализа процесса хватало данных по распределению времени пребывания. Стоило перейти к реакциям иных порядков, описание которых нелинейно, как начало проявляться влияние сегрегации — фактора, учесть и проанализировать который весьма сложно. [c.125] Сложность решения нелинейных уравнений зависит от характера нелинейности. Наличие в уравнении квадрата зависимой переменной создает меньшие трудности, чем нелинейность типа уравнения Аррениуса. [c.126] Но встречаются задачи, в которых различные начальные условия заданы в разных точках. Например, во многих аппаратах с противотоком часть условий может быть задана со стороны входа одного потока, часть — со стороны входа другого. Это краевые задачи. Если краевую задачу не удается свести к задаче Коши с помощью дополнительных уравнений (например, уравнения рабочей линии), то решение сильно усложняется и требует, как правило, применения специальных расчетных приемов — итерации и др. [c.126] Дифференциальные уравнения в частных производных содержат функции от нескольких независимых переменных. Задачи с этими уравнениями, как правило, отличаются наибольшей сложностью. В некоторых сравнительно простых случаях при решении уравнений в частных производных можно применять устройства типа ЭГДА (см. раздел 5). В большинстве же случаев решение каждой конкретной задачи требует серьезной математической работы. [c.126] Кроме уравнений перечисленных типов могут встречаться и иные (например, интегральные, логические). [c.126] Эмпирические модели. Проводя опыты на базе стохастического подхода, мы не знаем, в каком виде следует получать функцию отклика. Если у зависит только от одного х, а вид зависимости достаточно прост, то его можно определить на глаз, по графику. Если аргументов несколько или график сложен, этот путь закрыт. [c.126] Таким образом, зависимость у от входов разделена на две компоненты функцию ф от контролируемых переменных и шум Искомое эмпирическое уравнение должно описать функцию ( х ,. . х ) при этом шумг )(г1,. . . ) будет фигурировать как случайная ошибка. [c.126] Чтобы наше приближение удовлетворительно описывало процесс, нужно, чтобы остаток был невелик по сравнению с шумом. Тогда дальнейшее уточнение функции не будет иметь смысла, поскольку мы не сможем выявить, действительно ли следующие члены ряда отражают уточненную функцию или они определяются случайными ошибками опытов. [c.127] Расчет коэффициентов многочлена проводят обычно методом наименьших квадратов (см. Приложение). При этом вначале рассчитывают более простые многочлены отклонение опытных точек от расчетных значений сравнивают со случайной ошибкой эксперимента, величину случайной ошибки оценивают по результатам параллельных опытов. Если обе величины одного порядка, то описание считают удовлетворительным. Если отклонение нельзя объяснить случайной ошибкой, то рассчитывают более сложный многочлен. [c.127] При неадекватности этого уравнения можно проверить многочлен 3-го порядка и т. д. [c.127] Представление эмпирических зависимостей многочленами наиболее распространено, о связано с тем, что математические свойства таких приближенных формул хорошо изучены и с ними удобно обращаться. Правда, некритическое использование полиномиальных формул (формул в виде многочленов) не всегда приводит к успеху. Некоторые свойства объекта удобнее отражать при помощи формул с иными классами функций. [c.128] при описании колебательных процессов несомненно удобнее пользоваться тригонометрическими функциями. Если пределы изменения X невелики, такой процесс можно описать и многочленом, но он будет неоправданно сложным. [c.128] Вернуться к основной статье