ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Метод наименьших квадратов из "Введение в моделирование химико технологических процессов Издание 2" Метод наименьших квадратов играет важнейшую роль при решении обратных задач моделирования (см. разд. 4). Он отвечает следующей постановке задачи. [c.66] Например, в уравнении (3.11) вектор факторов (х, Хт., Хз) вектор параметров ( о, Ъх, Ъч, Ьз, Ьп, 22, зз, 12, Ьц, Ьгз). [c.66] Задача состоит в том, чтобы по опытным данным наилучшим образом определить значения параметров Ь. [c.67] Обратим внимание на следующее. Поскольку в каждом эксперименте мы допускаем случайную ошибку, получаемые значения параметров будут оценками истинных значений. Проведенный эксперимент можно рассматривать как выборку при этом генеральная совокупность мыслится как бесконечное число возможных опытов на данном объекте. Поэтому к данной задаче целесообразно применить аппарат математической статистики. [c.67] Рассмотрим метод наименьших квадратов в наиболее обычном и простом варианте примем, что в опытах значения факторов х задавались с пренебрежимо малой ошибкой, практически точно. Но значения отклика у получались со случайными ошибками. Кроме того, будем считать, что все ошибки имеют одинаковый закон распределения, в принципе одинаковы и различаются только случайным образом (все измерения сделаны с одинаковой точностью). [c.67] В этом случае метод наименьших квадратов сводится к следующему. Наилучшими будут те значения параметров Ь, при которых сумма квадратов отклонений расчетных величин у от опытных окажется наименьшей. [c.67] Здесь каждая строка — условия одного опыта каждый столбец-значения одного фактора в разных опытах л ,/— значение /-Г0 фактора в /-м опыте. [c.67] Те значения Ь, при которых сумма 5 окажется минимальной, и будут наилучшими. [c.68] Как известно, для отыскания минимума функции нужно приравнять нулю ее частные производные по всем аргументам. [c.68] В теории метода уравнения (7.6) носят название нормальных уравнений. [c.68] Отметим, что если ошибки определения у — независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми (хотя и неизвестными нам) дисперсиями, то решение системы (7.6) даст состоятельные, несмещенные и эффективные оценки коэффициентов Ь, т. е. действительно наилучшие с точки зрения математической статистики. [c.68] Следует лишь учитывать, что если ошибки определения у распределены нормально, то ошибки 1п у имеют уже не нормальный закон распределения, что может привести к смещению оценок параметров. Во многих случаях, когда можно полагать, что смещение невелико, такое преобразование (логарифмирование) все же делают. [c.69] В формулу (7.8) для симметрии введена величина Хо она всегда равна 1 и, таким образом, ЬоХо=Ьо. Поэтому Хо иногда называют фиктивной переменной. [c.69] Число неизвестных b равно числу уравнений (поскольку каждое уравнение получено дифференцированием S по одному из bi). Поэтому матрица (7.15) —квадратная. Это значит, что если определитель матрицы (7.15) не равен нулю, то система (7.14) имеет единственное решение — единственный набор коэффициентов. В случае, когда этот определитель равен нулю, матрица вырождена, получается бесконечно много решений — тогда по данным опытным точкам нельзя однозначно определить параметры модели. [c.71] Пример 7.2. Расчет коэффициентов методом наименьших квадратов. [c.71] Рассмотрим три задачи на метод наименьших квадратов. [c.71] Вид уравнения таков у=Ьа+Ь р- -Ь Г. [c.72] Определитель этой матрицы равен нулю. Таким образом, имеющихся данных недостаточно для расчета зависимости. [c.73] Последняя задача примера 7.2 показывает, что не всегда опытные данные пригодны для расчета параметров. Прежде всего, число опытных точек должно быть не меньше числа рассчитываемых параметров. Иначе число степеней свободы, равное разности между числом точек и числом параметров, окажется отрицательным, а расчет — невозможным. Но и при неотрицательном числе степеней свободы, как в рассмотренной задаче, матрица системы нормальных уравнений может оказаться вырожденной. [c.73] Вырождение матрицы связано со взаимной корреляцией факторов, хотя не всегда с той простой формой корреляции, которая рассмотрена в разделах 5 и 6. Необходимо отметить, что и во многих случаях, когда определитель матрицы нормальных уравнений отличен от нуля, корреляция факторов затрудняет использование зависимостей, полученных методом наименьших квадратов. [c.73] Вернуться к основной статье