ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Случайные величины из "Введение в моделирование химико технологических процессов Издание 2" Случайной величиной является та, точное значение которой в предстоящем измерении невозможно предсказать. Практически случайные величины появляются двумя путями. В ряде задач величина случайна, так сказать, по сути. Так, случайно количество радиоактивных распадов в секунду для образца, обладающего низкой активностью. В других задачах мы обычно трактуем величину как в основном неслучайную (детерминированную), но становящуюся случайной вследствие того, что при измерении на нее накладывается случайная ошибка. Однако провести четкую границу между теми и другими случайными величинами вряд ли возможно. В теории вероятностей различия между ними не делают. [c.49] Главная характеристика случайной величины — вероятность. Вероятность Р есть число, заключенное между О и 1, характеризующее среднюю частоту появления в измерениях того или иного значения случайной величины. По способу задания вероятности случайные величины делятся на два больших класса. [c.49] В текущем году показатели работы практически не изменились. [c.49] Здесь Р — символ вероятности и — обозначение случайной величины, могущей принимать разные значения ы —какое-либо конкретное ее значение. Правая часть означает, что искомая вероятность зависит от и каждому значению и соответствует своя вероятность. В примере 5.1 Р(3)=0,30. [c.50] Время работы печи — непрерывная случайная величина в определенных пределах она может принять любое значение. В любом сколь угодно малом интервале заключено бесконечное число ее возможных значений. Поэтому вероятность того, что непрерывная случайная величина точно примет заданное значение, равна нулю. Замеренное значение обязательно отклонится от предсказанного, хоть на ничтожно малую величину. [c.50] Но из этого не следует, что нельзя говорить о вероятности применительно к непрерывным величинам. Действительно, включенная печь явно вероятнее проработает до остановки 24 ч, чем 24 с или 24 года. Дело в том, что для определения вероятности значение непрерывной случайной величины нужно задать сдо пуском. Если бы в примере вопрос был поставлен так какова вероятность того, что продолжительность работы примет какое-либо значение в пределах от 24 ч до 24 ч 5 мин, т. е. был бы задан допуск, то вероятность составила бы определенную величину, отличную от нуля. [c.50] Функция/(м) называется плотностью вероятности, или дифференциальной функцией распределения величины и. [c.50] что в нашем примере (и) при ы = 24 ч значительно больше, чем при ы=24 с или = 24 года. [c.50] Поэтому принципиально безразлично, какой из этих функций характеризовать и-, мы всегда можем перейти от одной к другой. Выбор f(и) или Р и) определяется удобством. [c.51] Числа а я а являются параметрами закона, показывающими, чем одна нормально распределенная (нормальная) величина отличается от другой. Смысл параметров рассмотрен немного ниже. [c.51] что нормальный закон встречается столь часто, связано с тремя обстоятельствами. Во-первых, в тех задачах, где ошибка получается как сумма большого числа слабых неконтролируемых влияний, распределение ошибки должно быть нормальным (по центральной предельной теореме теории вероятностей). Во-вторых, нормальный закон в некотором смысле —самый простой и к тому же лучше всего изученный работать с ним наиболее удобно. В-третьих, есть очень много задач, в которых хотя закон и отличается от нормального, но ошибка от принятия нормальности распределения оказывается небольшой и ею удается пренебречь. Поэтому почти во всех случаях, когда закон распределения неизвестен и нет возможности его проверить, принимают нормальность распределения ошибки. [c.51] Тем не менее, полезно знать, что в некоторых практически важных случаях ошибки распределены по другим законам. Так, довольно часто измеряемая величина существенно неотрицательна, причем в опытах могут получаться значения, очень близкие к нулю, но величина меньше нуля получиться не может. Здесь принятие нормального закона распределения ошибок может существенно исказить картину. Нормальный закон предполагает возможность заметных отрицательных отклонений. Но если истинное значение а близко к нулю, то отрицательное отклонение, превосходящее —а, невозможно. [c.52] В вероятностных задачах, не относящихся к теории ошибок, часты и другие законы распределения — например, те, которые описаны в разделе 13. [c.52] Числовые характеристики. Закон распределения дает исчерпывающую информацию о случайной величине поскольку она случайна, ничего большего, чем распределение вероятностей, о ней заранее сказать нельзя. Но для многих задач это —слишком сложная информация. Зачастую исследователю достаточно знать о случайной величине, какова она в среднем и насколько сильно ее значения разбросаны относительно этого среднего. Такие сведения содержатся в числовых характеристиках случайной величины. [c.52] Пример 5.2. Случайные величины с разными математическими ожиданиями и дисперсиями. [c.53] Масса гири аналитического разновеса — величина случайная как бы хорошо ее ни изготовили, она на какую-то малую величину отклонится от номинального значения. Если гири изготовлены правильно, то можно считать, что математическое ожидание массы равно номиналу. Таким образом, математическое ожидание для однограммовой гири в 10 раз меньше математического ожидания для 10-граммовой гири. [c.53] Масса гири технического разновеса — тоже случайная величина, и ее математическое ожидание тоже равно номиналу. Но дисперсия в этом случае во много раз больше для гири с номиналом 1 г допустимы значительно большие отклонения от этого значения, чем для гири 1 г аналитического разновеса. [c.53] Квадратный корень из дисперсии есть среднее квадратическое отклонение случайной величины. Если речь идет о случайной ошибке, то это — средняя квадратическая ошибка. [c.53] Основные свойства математического ожидания и дисперсии определяются рядом теорем, которые здесь приводятся без доказательств. [c.53] При сложении случайной и неслучайной величин неслучайное слагаемое можно вынести из-под знака математического ожидания. [c.53] Вернуться к основной статье