ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Прикладные задачи оптимизации в химической промышленности. Формализация и основные подходы к решению из "Оптимальное управление процессами химической технологии" Для решения некоторой оптимальной задачи, такой, как проектирование химико-технологической схемы, определение оптимального режима аппарата, построение математической модели объекта по экспериментально полученным характеристикам и др., требуется переход к точной количественной формулировке, т. е. формализация задачи. Формализация предполагает возможность сопоставления любого из допустимых решений с некоторым числом. [c.47] Иллюстрация задачи о максимуме — / (х) Л (ж). [c.48] Это сопоставление реализуют функция или функционал, определенные на множестве допустимых решений, которые называют критерием оптимальности или целевой функцией задачи. Обозначим их через /о или I. [c.48] Чтобы выделить множество допустимых решений, необходимо выписать все переменные задачи, как подлежащие выбору, так и зависящие от этих переменных, определить возможные значения каждой из переменных, характеризующиеся наложенными на переменную ограничениями, выписать связи между переменными и ограничения, наложенные на их сочетания. Множество допустимых решений, которое мы будем обозначать через D, может включать в себя векторы, т. е. быть подмножеством пространства векторов. Такие задачи называют конечномерными. Если Z) наряду с векторами содержит составляющие решения в форме функций, зависящих от одной или нескольких переменных, то задачу называют бесконечномерной. [c.48] Целью решения является определение такого элемента х D, на котором критерий оптимальности достигал бы своего максимального значения (или I ), и вычислении самого этого значения. Задачи на минимум критерия оптимальности нетрудно свести к задачам на максимум, для этого достаточно простого изменения знака у критерия (рис. II.1). При этом min / х) — —шах [—/ (х)]. [c.48] Величину Л или / будем называть значением задачи, а соответствующий элемент множества В — решением. Заметим, что одному значению задачи может соответствовать несколько, иногда бесконечно много решений (рис. II.2). В этом случае все решения равноправны, если на множестве этих решений не введен некоторый дополнительный критерий. [c.48] Формализация оптимальных задач. [c.48] ВО времени. Но известен целый ряд объектов, установившийся режим которых не соответствует постоянству параметров. [c.49] К ним можно отнести человека, у которого даже в состоянии полного покоя периодически меняется объем легких, давление крови и пр. имеется и ряд технических объектов, установившийся режим которых характеризуется периодически изменя-юш,имися параметрами. [c.49] Обозначим через у ( ) вектор-функцию, включающую в качестве отдельных составляющих параметры состояния объекта и внешние воздействия на него. [c.49] Таким образом в установившемся режиме постоянна не функция времени у ((), а ее среднее значение на интервале времени продолжительностью Т. Установившийся режим, в котором функция у меняется периодически, будем называть циклическим, а режим, в котором у постоянна во времени, — статическим или стационарным. [c.49] Рассмотрим задачи о выборе установившегося режима того или иного типа, взяв в качестве управляемого объекта химический реактор. [c.49] Выбор оптимального статического режима реактора идеального смешения непрерывного действия. [c.49] Словесная постановка. Найти такие значения расхода и концентрации реакциоЕгной смеси, а также телшературы реакционной смеси и объема реактора, при которых продуктивность реактора по полезному продукту будет максимальной. Под продуктивностью понимается съем полезного продукта в единицу времени с единицы объема аппарата. [c.49] Обозначения V — объем реактора е — расход реакционной смеси Свх — вектор входной концентрации Сод х концентрация полезного продукта на выходе Свых вектор концентрации выходного потока 9 — температура реакционной смеси (рис. П.З). [c.49] Здесь п (0, Сеых) — выражения для скорости химической реакции. В критерий (П-2) и уравнения (П-4) параметры Vag входят в форме отношения обозначив это отношение через ц и назвав средним временем пребывания реакционной смеси, будем считать его искомой величиной. Решение у является вектором с составляющими р., 0, входной и выходной концентрациями. Таким образом, размерность у равна [2 (т. -f- 1) -f- 2]. На эти переменные наложено (т -f- 1) -f 2 условия в форме равенств (П-4). Так как число переменных больше числа условий в форме равенств, остается свобода для выбора оптимального решения. [c.50] Выбор оптимального квазистатического режима реактора идеального смешения непрерывного действия. [c.50] Как и в предыдущем случае, здесь можно ввести новую переменную ц (/) = V/g (I). Получим задачу, в которой требуется найти 12 (от 4- 1) + 21 функций времени, т. е. входные и выходные концентрации, 0 ( ) и (/). Формально поставленная задача является бесконечномерной, но она отно-сптся к так называемым усредненным задачам, которые, как будет показано далее, могзгг быть сведены к конечномерным. Причем при достаточно больших Т ее решение не зависит от величины Т. [c.50] Задача об оптимальном циклическом режиме. [c.50] Вернуться к основной статье