ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Метод конечных элементов (II форма) из "Механика полимерных композиционных материалов" Перейдем к изложению алгоритмов II формы (см. предыдущий параграф) и начнем с простейшей задачи о чистом растяжении стерн ня переменной жесткости. [c.195] Вид функции ср,-, соответствующей внутреннему узлу (вершине), показан на рис. 4.6. Фактическое построение таких функций будет произведено в следующем параграфе. [c.196] Используя явный вид функций Уар, нетрудно убедиться в том, что полученная система уравнений (4.238) совпадает с найденной ранее системой (4.203) или (4.207). [c.197] Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для случая разбиения Q на четырехугольные подобласти при использовании аппроксимаций степени выше первой для трехмерных задач теории упругости. [c.198] Перейдем теперь к описанию способов построения базисных функций ф в многомерном случае. [c.198] Цель дальнейших определений и рассуждений состоит в том, чтобы привести проблему построения функций базиса p для произвольной области (из рассматриваемого класса областей) к аналогичной проблеме для возможно более простой (канонической) области. [c.198] В дальнейшем все функции, заданные в преобразованной области Т, будем помечать значком Имеет место следующая лемма. [c.199] Так как Р но определению невыронгденное, то размерность Р равна К, следовательно, является базисом в Р как было отмечено выше, в таком случае 2 является Р-разрешимым. [c.199] Такой и-симплекс будем называть опорным, или базисным, и именно для него проводить построение базисных функций. [c.200] Заметим, что совокупность вершин Е любого невырожденного и-симплекса эквивалентна (в смысле данного выше определения) множеству Ё вершин опорного га-симплекса. [c.200] Таким образом, если построить базисные функции р, в виде функций от барицентрических координат на Т, то тем самым будут построены базисные функции для любого Т, полученного из Т с помощью невырожденного аффинного преобразования. Все приведенные ниже выражения для базисных функций получаются решением N систем уравнений (4.242) (для каждой точки множества 2). [c.200] Нетрудно осуш ествить построение множества 2, являющегося -йл-разрешимым для любого к. Но, как было показано на примере 4.3, начиная с к = Ъ появляются узлы интерполяции, лежащие внутри области Г это обстоятельство затрудняет формирование матрицы жесткости системы. Была поставлена следующая проблема каким образом можно увеличить степень аппроксимирующих полиномов, не вводя внутренних (по отношению к Т) узлов интерполяции. Оказалось, что ответ на этот вопрос является положительным, если искать подходящие интерполяции в соответствующем подпространстве Д. Рассмотрим подробно решение поставленной проблемы для случая к = 3. [c.202] Доказательство. Применив формулу Тейлора для выражения у (а ) через у (а) и учтя, что и(х) Р2 и, следовательно. [c.202] Подстановка зависимостей (4.263) в разложение (4.264) дает т) = г (а) + I Уу (а) (а - а ) + УУу (а) ai - а ) (а - а ). [c.203] Смысл дальнейших преобразований — в исключении из разложений (4.261), (4.265) производных от V. [c.203] Умножим соотношение (4.267) на 1/4, (4.268) —на 1/6 и вычтем (4.268) из (4.267) учтя тождество (4.269), придем к искомому представлению (4.260). [c.204] Нетрудно подсчитать, что dim Р = (ге + 1) , что совпадает с количеством точек в множестве S, определенном формулой (4.259). [c.204] В самом деле, определим для ] Ф кФ i числа л = /б (а,- + a.i + аи) + V4 ( , + ащ + аш + а ц). [c.204] Вернуться к основной статье