ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Метод последовательных приближений из "Многокомпонентная ректификация" Уравнения, описываюш ие процесс многокомпонентной ректификации, не имеют явного выражения относительно искомых величин, поэтому задача решается только численными методами. Процедура заключается в постепенном подборе значений не известных до удовлетворения одновременно всем уравнениям системы. Решить эту задачу после первого приближения удается только в отдельных случаях. Обычно полученные результаты служат для выполнения второго приближения, которое (как и все последушпдие) должно проводиться по алгоритму, обеспечи-ваюш,ему наибольшую эффективность. [c.14] При выполнении подобных расчетов вручную новые значения искомых переменных выбирают по-разному, основываясь на различных логических соображениях, которые могут меняться в процессе расчета. Однако для успешного решения задачи на цифровых машинах алгоритм последовательных приближений должен быть строго установлен. Ниже описаны некоторые известные приемы решения задач методом последовательных приближений. [c.14] Способ простых итераций. Излагаемый прием в литературе обобш,енно называют способом итераций. Поскольку выражения число итераций и число приближений часто считают синонимами, термин простые итерации выбран для обозначения обычной последовательности вычислений. При решении задачи методом последовательных приближений простые итерации представляются наиболее естественным приемом. Однако эти итерации не всегда дают решение задачи, т. е. не всегда сходятся. [c.14] Этот недостаток часто остается незамеченным, так как, получая плохо сходящуюся последовательность значений переменных, оператор применяет более эффективный прием. [c.14] Отметим, что угловой коэффициент линии = f (а ) меньше единицы и способ простых итераций в этом случае дает решение а = 4. [c.15] На рис. 1-2 показано, что применение способа простых итераций при начальном значении независимой переменной х, меньшем чем 4, дает (вычисляемые) значения ж, прогрессивпо уменьшающиеся и удаляющиеся от искомого решения ж = 4. Если начальные значения х больше 4, то значения прогрессивно увеличиваются, также удаляясь от искомого решения. Способ простых итераций при таком решении задачи оказывается непригодным, так как угловой коэффициент функции (1,7) больше единицы. Если угловой коэффициент функции определяется предполагаемым значением х, способ простых итераций моясет сходиться или расходиться в зависимости от начального значения этого X. Проиллюстрируем данный вывод. [c.16] Для начальных значений х, меньших чем 2 + 2 2, способ простых итераций дает значение корня х = 2 — 2 / 2 (рис. 1-3). [c.17] Этот критерий сходимости простых итераций y тaнoвиJ[ Нильсен , который показал также, что если сумма указанных производных существенно не меньше единицы, то сходимость очень медленная. [c.18] Способ простых итераций как таковой применяется редко, поскольку во многих случаях его сходимость оказывается слишком медленной. После получения какого-либо значения переменной можно целенаправленно выбрать величину следующего приближения при помощи различных, обеспечивающих сходимость расчета способов, применение которых во многих случаях оказывается столь же трудным, как и аналитическое решение задач. [c.18] Предложенный способ сходимости обычно проверяют решением разнообразных численных примеров. Способ простых итераций редко применяют ко всей задаче в целом чаще всего его используют на отдельных стадиях решения более сложной задачи. [c.18] Рассмотренные свойства простых итераций служат важной основой для интерпретации численных результатов, полученных при решении сложных задач. [c.18] Способ Ньютона. Одним из часто применяемых способов решения задачи методом последовательных приближений является способ, предложенный Ньютоном. Допустим, что необходимо найти значение х, при котором / (х) = 0. Способ Ньютона состоит в использовании при итерациях двух первых членов ряда Тейлора для / (ж) в окрестности, некоторого значения х, скаж ем х . [c.18] На рис. 1-4 показано применение способа Ньютона для нахождения положительного корня х = 2 + 2 / 2), который удовлетворял бы уравнению (1,8). Простые итерации в этом случае не дают решения способ Ньютона, наоборот, обеспечивает быструю сходимость до искомого результата. Кроме того, очевидно, что если начальное значение х лежит вправо от х =- 2, то способ Ньютона дает сходимость при значении корня х = = (2+2 /2). В случае, когда начальная величина х лежит влево от X = 2, этот способ дает сходимость при корне х = = (2—2У 2). Если взято начальное значение х = 2, способ Ньютона оказывается непригодным, так как f (2) = 0. Если же, наконец, в окрестности значения искомого корпя оказывается точка перегиба, указанный способ может не дать сходимости . [c.19] Способ Ньютона — Рафсона. Распространение способа Ньютона на функции с несколькими переменными называется способом Ньютона — Рафсона . Этот способ обосновывается аналогично способу Ньютона. [c.21] Попятно, что функции и их производные определяют при X = х и у г/ . Задача сводится к двум уравнениям с двумя неизвестными (Аг-,,+1 и Аг/,,+1). Значения, рассчитанные после п приближений ( ,,+1) и (г/,,+1) — берутся в качестве исходных значений для (п 1)-го приблюкепия. Эта процедура повторяется до получения значений корней с желаемой точностью. [c.21] Сходимость способа Ньютона — Рафсона рекомендуется исследовать путем непосредственного применения этого метода к решению различных задач, стояш их перед исследователем. Следует изучить использование различных начальных значений переменных. Если интерес представляют только положительные значения корней, а при промежуточном приближении получаются отрицательные значения перемеьных, необходимо предусмотреть возможность выбора новых значений переменных для следующего приближения. Как уже указывалось, целесообразно непосредственное испытание способа в отношении сходимости, так как труднее аналитически доказать сходимость или несходимость способа Ньютона — Рафсона для данной системы уравнений, чем найти конкретные условия, при которых получалась бы сходимость до желаемого результата для одних начальных условий и несходимость для других. [c.22] В данной главе рассмотрены только четыре способа решения задач методом последовательных приближений, которые наиболее часто будут встречаться в дальнейшем. Кроме этих способов имеются и другие, например описанные Нильсеном . [c.22] Вернуться к основной статье