ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Сложение элементов симметрии. Виды симметрии из "Кристаллохимия Издание 2" Из прямой теоремы можно сделать несколько важных выводов. Так, если плоскости располагаются под прямым углом, то последовательное отражение в них эквивалентно повороту на 180° (рис. 23), или иначе — линия пересечения таких плоскостей является осью второго порядка 2. Если плоскости симметрии пересекаются под углом 45°, то равнодействующим элементом симметрии будет ось четвертого порядка. [c.25] Из сказанного следует, что элементы симметрии находятся не в произвольных сочетаниях друг с другом, а только в определенных. Так, например, нет такой фигуры, которая обладала бы только двумя взаим-но -перпендикулярными плоскостями симметрии и не обладала бы од но-временно и двойной поворотной осью. На рис. 24 изображена такая фигура, обладающая двумп плоскостями симметрии, расположенными перпендикулярно к пло скости чертежа, и осьЮ второго порядка, являющейся линией их пересечения. Не может быть фигуры, имеющей 2 и одну из нлоско стей — / или II. В результате сложения оси 2 с проходящей через нее плоскостью симметрии возникает вторая плоскость,, перпендикулярная к первой и проходящая также через ось. Таким, образом, фигура (рис. 24) всегда имеет три элемента симметрии.. [c.25] Полная совокупность элементов симметрии фигуры называется видом симметрии. [c.26] Если фигура в проекции будет иметь форму не ромба, а квадрата (рис, 25), то ее вид симметрии будет характеризоваться осью симметрии 4 и четырьмя плоскостями симметрии, проходящими через нее. [c.26] Кратко это записывается формулой симметрии 44Р. Формула симметрии фигуры, изображенной на рис. 24, будет 1.22 . [c.26] АС и D. Далее, угол E F прямой. Он является суммой двух углов ЕСВ я ВСЕ. Если к ним прибавить 2 таких же угла, то получим, что A D действительно равен 180°. [c.27] Была доказана теорема также легко доказать, что 2 Н показана фигура, обладающая трии L2P . [c.27] Если складывать две пересекающиеся оси, то равнодействующим элем ентом симметрии будет также ось, проходящая через ту же точку пересечения. [c.27] Если оси /,2 пересекаются под углом 60, 45 или 30°, то равнодействующими осями симметрии будут Ьц или 1б соответственно. [c.28] В 1867 г. русский академик А. В. Гадолин строго математическим путем вывел 32 вида симметрии кристаллов. Интересно отметить, что-эмпирически был установлен к тому времени только 20—21 вид симметрии. В настоящее время имеются примеры кристаллов всех 32 видов симметрии. После того как результаты исследования Гадолина прочно вошли в науку, была найдена работа Гесселя, сделанная на 30 лет ранее Гадолина и содержавшая аналогичный вывод. [c.28] Зная три теоремы о сложении элементов симметрии, доказанные в предыдущем параграфе, можно получить представление о математическом выводе видов симметрии, понять принв ип этого вывода. [c.28] Этот вывод мы прежде всего разделим на две части в первой будут выведены виды симметрии с одной главной осью симметрии (т. е. с осью третьего и более высоких порядков) и без главных осей, во второй части — с несколькими главными осями. [c.28] В первой колонке табл. 3 выписаны все 8 возможных осей симметрии. [c.28] Все примечания рассмотрены в тексте 4. [c.28] Инверсионная ось содержит в себе центр инверсии, а ось — ПЛОСКОСТЬ симметрии, перпендикулярную к ней. Это обстоятельство иногда подчеркивается тем, что после наименования оси ставится знак С или Р соответственно, как этО и сделано в первом столбце табл. 3. Такая символика является нестрогой, т. е. в других случаях мы аналогичных элементо В симметрии не указываем например, ось 2, содержащуюся в каждой четной поворотной оси Ьл, или Ы). Избежать такой -двойственно сти легко, если в каждом виде симметрии указывать только те симметрические преобразования, которые приводят фигуру к совмещению 1самой с собой. Указание на С и Р при осях и имеет скорее педагогическое значение, так как именно эти элементы симметрии на моделях кристаллов учащиеся будут находить скорее и легче, чем сами инверсионные О си. [c.29] Все указанные в первом столбце табл. 3 оси могут присутствовать в фигурах в единственном числе. В этом случае они будут являться восемью простейшими видами симметрия. К этим осям симметрии мы последовательно будем прибавлять другие элементы симметрии (верхняя строка табл. 3). Действуя таким образом, мы заведомо не пропустим ни одного вида симметрии, но некоторые из них, очевидно, получим в таблице несколько раз. Вывод будем проводить по колонкам сверху вниз и слева направо. Те виды симметрии, которые будут появляться второй раз (и последующие разы), будем сразу ставить в скобки и при окончательном подсчете не учитывать. Если прибавление нового элемента симметрии изменяет характер оси, то соответствующую клетку прочеркиваем, так как все возможные оси выписаны в первой колонке и нового, вида симметрии, очевидно, в таком случае не получим. Все примечания в таблице по следовательно с выводом будут разбираться. [c.29] Если к каждой из осей прибавить центр симметрии (вторая колонка), то мы получим несколько новых видов симметрии. [c.29] Прибавление плоско-сти симметрии параллельно главной оси (столбец 3) по первой теореме приводит к по явлению но вых пло скостей, причем О бщее число плоскостей будет равно порядку О Си. [c.29] Вернуться к основной статье