ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений из "Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии" Дифференциальные уравнения, устанавливающие связь между независимыми переменными, неизвестными (искомыми) функциями и их производными, широко используются в химической технологии для описания нестационарных процессов, а также процессов с распределенными параметрами. Например, концентрация реагента, вступающего в реакцию, является функцией времени пребывания, условий ведения процесса, и для того чтобы определить закон ее изменения во времени, необходимо составить дифференциальное уравнение, решение которого и устанавливает необходимую функциональную зависимость. Аналогично для определения числа ступеней разделения в процессе периодической ректификации необходимо определить состав кубового остатка и дистиллата как функции степени отгона. Это можно осуществить путем решения системы дифференциальных уравнений материального и теплового балансов. [c.347] Дифференциальные уравнения являются основным математическим аппаратом при исследовании динамических свойств объектов, в частности переходных процессов. [c.347] Пример 1. Математическое описание нестационарных процессов, происходящих в ректификационной колонне, основывается на уравнениях материального и теплового балансов, являющихся количественным выражением закона сохранения. Однако в отличие от анализа статических свойств объекта здесь закон сохранения массы и энергии как равенство входных и выходных потоков не сохраняется. При протекании процесса происходит накопление массы и энергии, т. е. [c.347] ВХОД — ВЫХОД = НАКОПЛЕНИЕ. [c.347] Математическое описание динамики ректификационной колонны содержит уравнения материального и теплового балансов уравнения, описываю щие механизм взаимодействия между паровой и жидкой фазами на отдельных тарелках уравнения для описания фазового равновесия. [c.347] Система (12—7) в общем виде неразрешима обычными способами. Для ее решения необходимо воспользоваться приближенными методами. [c.349] Решением дифференциального уравнения является некоторая функциональная зависимость, которая в простейших случаях может быть получена аналитически, а в более сложных — численными методами в виде таблицы значений независимой переменной и соответствующих значений функции. [c.349] Если неизвестные функции рассматриваются как функции одной независимой переменной, то дифференциальные уравнения называются обыкновенными, в противном случае — уравнениями с частными производными. Порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение, называется порядком этого уравнения. [c.349] Для того чтобы выбрать из бесконечного числа решений единственное, необходимо зафиксировать некоторую начальную точку, через которую должно проходить решение. Это эквивалентно заданию дополнительного условия, накладываемого на решение дифференциального уравнения и называемого начальным условием. [c.350] Решением уравнения (12—10) будет вектор-функция у, определяющая некоторую линию в г + 1-мерном пространстве, в котором начальное условие изображается как точка. [c.350] Предположим, что правая часть уравнения (12—8) является аналитической функцией в области определения решения, тогда решение дифференциального уравнения является аналитическим и допускает разложение в ряд Тейлора. [c.351] Выражение (12—12) является основной формулой интегрирования дифференциального уравнения (12—8) путем разложения решения в ряд Тейлора. Полагая в ней последовательно /с = 0,1,2,. .., п, п = Ь а)/к, можно вьгаислить решение уравнения (12—8) в п точках интервала (а, Ь). Очевидно, чем больше членов разложения и чем меньше шаг интегрирования, тем точнее будет получено решение. [c.351] Принципиально формула (12—12) может быть использована при интегрировании любого дифференциального уравнения с произвольной наперед заданной точностью, от которой будет зависеть число членов ряда. Однако с увеличением числа членов ряда увеличивается количество подлежащих определению производных, а следовательно, и объем вычислений. Вычисление производных с практической точки зрения весьма трудоемко, поэтому формулы разложения решения в ряд как метод решения дифференциальных уравнений не получили широкого распространения. Обычно вместо разложения используются методы, опирающиеся на разложение в ряд Тейлора, но позволяющие получать решение без вычисления производных. Метод же отыскания решения с помощью рядов Тейлора главным образом используется как способ оценки точности других формул интегрирования. [c.352] На следующем шаге, т. е. при вычислении у , снова определяется производная, но только в точке (х , у ) и из точки пересечения прямых X = Хг я у = Уг (точка на рис. 53) проводится касательная до пересечения с прямой х = х . Аналогичная процедура вычислений повторяется для уц, у ж т. д. [c.353] Таким образом, в результате вычислений определяется некоторая ломаная линия, линейные отрезки которой имеют угол наклона, вычисляемый через производную в соответствующей точке интегральной кривой. Как следует из рис. 53, с ростом к ломаная линия все дальше отходит от истинного решения. Отсюда же из геометрических представлений легко заметить основной недостаток метода Эйлера если, например, кривая решения выпуклая, то ломаная кривая, вычисляемая на каждом шаге, будет отходить от нее вверх, поскольку для вычисления положения последующей точки используется производная в предыдущей. Очевидно, чем больше кривизна интегральной кривой и шаг интегрирования, тем значительнее это отклонение. Другим неприятным свойством этого метода является также то, что ошибка интегрирования накапливается, т. е. увеличивается с каждым шагом. [c.353] Несмотря на простоту реализации, метод Эйлера относительно редко применяется при интегрировании дифференциальных уравнений, поскольку не обеспечивает достаточной точности вычислений и очень часто бывает неустойчив из-за накопления ошибок. Устойчивость метода увеличивается при уменьшении шага интегрирования, однако при интегрировании сложных уравнений уменьшение шага приводит к резкому увеличению объема вычислений и, как следствие,— к значительным затратам машинного времени. [c.354] Порядок построения решения в методе Эйлера—Коши представлен на рис. 55. Через точку ( , у ) проводится касательная до пересечения с прямой х = х - В этой точке пересечения вычисляется тангенс угла наклона касательной А и из точки х , проводится прямая А , тангенс угла наклона которой есть среднее арифметическое тангенсов углов наклона прямых А и А , т. е. [c.355] Оценка точности формул Эйлера. Для того чтобы оценить точность улучшенных формул Эйлера, можно сравнить их с разложением решения в ряд Тейлора. [c.356] Из сравнения (12—16) и (12—24) можно заключить, что видоизмененные формулы Эйлера согласуются с разложением в ряд Тейлора с точностью до членов степени включительно, т. е. обеспечивают точность на порядок выше, чем формула (12—17). Можно также показать, что формула Эйлера—Коши с итерационным уточнением на каждом шаге позволяет получить точность порядка к [271. [c.356] Устойчивость решения. При решении дифференциальных уравнений численными методами помимо вопросов точности важную роль приобретают вопросы устойчивости решения. Под устойчивостью метода решения дифференциального уравнения понимается способность накопления и скорость роста ошибки интегрирования. Как уже отмечалось выше, при использовании формулы (12—17) ошибка вычислений накапливается в процессе интегрирования. [c.356] Вернуться к основной статье