ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Аппроксимация из "Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии" Разности называются отклонениями и при графической интерпретации в системе координат х—у представляют собой расстояние по вертикали между экспериментальным значением и значением, рассчитанным по эмпирической формуле. [c.315] Поскольку число точек п в общем случае больше числа неизвестных параметров, задача расчета их значений не может быть решена прямым методом. Одним из способов ее решения является приведение системы (11—38) к нормальному виду (к виду, когда число уравнений в системе равно числу неизвестных). [c.315] Результаты решения по методу средних, вообш,е говоря, зависят от способа группирования исходных уравнений. Практика показывает, что наилучшие результаты получаются в том случае, когда уравнения сгруппированы в порядке монотонного изменения одной из переменных. [c.319] Аппроксимирующие функции, используемые в методе средних, могут быть самыми разнообразными. Наиболее просто задача расчета параметров решается, когда аппроксимирующая функция либо линейна относительно коэффициентов, либо приводится к линейному виду. [c.319] Наиболее часто используемым классом эмпирических зависимостей является класс многочленов. На стр. 316 представлена программа определения коэффициентов многочлена по методу средних. Исходными данными программы являются Y, X — массивы экспериментальных значений функции и аргумента N — число экспериментальных точек М — степень аппроксимирующего полинома. [c.319] В программе для решения системы линейных уравнений используется стандартная процедура GORDAN (стр. 253), В процессе формирования нормальной системы вида (11—40) разбиение исходной системы на группы производится автоматически. Выходными данными являются В — вектор решения, Р — вектор отклонений экспериментальных и расчетных значений. [c.319] Метод наименьших квадратов. [c.319] При фиксированных значениях Xi функция R (а , а ,. .., а ) является положительно определенной функцией при лю бых значениях коэффициентов а , 2, з,. .., и, следовательно, имеет минимум. [c.319] Легко заметить, что выражение (11—43) представляет собой нормальную систему уравнений, решением которой являются искомые значения коэффициентов Я (/ = 1,2,. .., я). [c.320] Следовательно, в методе наименьших квадратов порядок определения коэффициентов эмпирической зависимости задается критерием оценки аппроксимации (11—42). Для определения коэффициентов необходимо для конкретной функции записать выражение вида (11—42) и продифференцировать его по каждой из переменных. Полученная система уравнений решается обычными способами. [c.320] Система уравнений (11—43) значительно упрош ается и сводится к линейной, если аппроксимирующая функция f х, а , 2,. .., з) линейна относительно коэффициентов, например при использовании для аппроксимации многочленов. [c.320] Основная трудность многочленной аппроксимации по методу наименьших квадратов заключается в решении нормальной системы уравнений. Поскольку коэффициентами системы являются суммы аргументов в соответствуюш,их степенях, то при высокой степени многочлена они могут иметь значительный разброс по абсолютной величине, в силу чего система может быть плохо обусловленной и ее определитель близок к нулю. Поэтому решение таких систем итерационными методами без соответствующего преобразования редко бывает успешным, поскольку для них, как правило, не выполняются условия сходимости (стр. 258). [c.321] Метод наименьших квадратов позволяет определить коэффициенты известной эмпирической зависимости. Если предполагаемая зависимость не обспечивает наилучшего приближения, то необходимо выбрать другую зависимость или изменить степень полинома. [c.321] Программа, реализующая многочленное приближение по методу наименьших квадратов для произвольного числа точек, представлена на стр. 322. Для решения нормальной системы уравнений используется процедура GORDAN. Исходными данными являются iV число экспериментальных точек М — степень аппроксимирующего полинома X, Y — массивы значений аргумента и функции в каждой точке. [c.321] После выполнения программы выводятся В — вектор решения, Р — вектор отклонений между экспериментальной и расчетными значениями в каждой точке. [c.321] В табл. 20 приведена погрешность аппроксимации А Уг = (У1 — Уг) О = = 1,2. 9), рассчитанная по указанным методам в каждой точке. [c.324] Уточнение аппроксимирующей зависимости. После вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома по одному из представленных методов может оказаться, что отклонения расчетной и экспериментальной зависимостей будут все же более значительными, чем это желательно. В этом случае целесообразно изменить степень полинома при многочленном приближении и повторить вычисление коэффициентов, т. е. попытаться подобрать полином наилучшего приближения. Иногда целесообразнее улучшить распределение погрешности путем введения дополнительного коэффициента в полученную полиномиальную аппроксимацию или воспользоваться экономизацией многочлена с помощью полиномов Чебышева. [c.325] Таким образом, дополнительный коэффициент определится как сумма отклонений. [c.325] Вернуться к основной статье