ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Собственные значения и собственные векторы матриц в задачах химической технологии из "Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии" При решении некоторых задач химии и химической технологии, например, таких, которые сводятся к решению систем линейных дифференциальных уравнений или к решению уравнений статистической физики, используются понятия собственных чисел и собственных векторов матриц. [c.276] Уравнение (10—61) называется характеристическим уравнением матрицы А. [c.276] Уравнение (10—61) имеет в общем случае п комплексных корней, и, таким образом, квадратная матрица и-го порядка имеет п собственных значений. [c.276] Решение системы (10—63) определяет вектор называемый собственным вектором матрицы Д. Поскольку число собственных значений матрицы равно ее порядку, для каждого собственного значения можно найти собственный вектор, и, таким образом, для каждой квадратной матрицы А порядка п можно найти п собственных векторов (/= 1, 2,. ..,/г), составляющих систему собственных векторов матрицы Так как собственные векторы удовлетворяют однородной системе уравнений (10—63), то компоненты каждого из них определяются с точностью до произвольного множителя. [c.277] Многие теоретические и прикладные задачи, в которых используются матричные представления, сводятся к вычислению собственных значений и собственных векторов матриц. Несколько примеров таких задач приводится ниже. [c.277] Результат вычисления в свою очередь является матрицей. [c.277] Однако такой прием может потребовать большого объема расчетов из-за необходимости вычисления достаточного числа членов ряда (10—65), чтобы обеспечить необходимую точность представления функции / ([4]). [c.277] Поэтому уравнение для одного из реагентов, например С, может быть исключено, а изменение концентрации этого компонента определяется из условия ха -Ь хв хс = I через изменения концентраций остальных реагентов. [c.278] Число молекулярных орбит в наборе соответствует числу атомных орбит, входящих в состав каждой молекулярной орбиты. [c.280] Поскольку наиболее устойчивому состоянию молекулы соответствует минимальное значение энергии орбиты, то в дальнейшем решение заключается в том, чтобы найти такие значения коэффициентов j T, которые отвечали бы этому условию. [c.280] Допущения, принимаемые в методе Хюккеля, заключаются в следующем. [c.280] Таким образом, расчет молекулярных орбит сведен к вычислению собственных значений и векторов матрицы А (10—82). [c.282] Пример 5. При исследовании динамических свойств различных объектов важное значение придается анализу их устойчивости. Если объект, выведенный из состояния равновесия малым возмущением, возвращается в это состояние, то он называется устойчивым. [c.282] Следовательно, устойчивость объекта, описываемого системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, может быть проверена, если известны собственные значения матрицы коэффициентов системы. [c.282] Вернуться к основной статье