ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Решение системы линейных алгебраических уравнений из "Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии" При расчете тарельчатых массообменных аппаратов используется ячеечная гидродинамическая структура движения потока жидкости по тарелке [34]. [c.243] Программа расчета матрицы коэффициентов эффективности по уравнению (10—21) приведена ниже. [c.244] Отдельные этапы расчета в программе оформлены в виде процедур. [c.244] Выполпепие программы начинается с вычисления состава паровой фазы по уравнению (10—23), определения матрицы коэффициентов по уравнению (10—22) и элементов матрицы A . Затем формируется нулевая матрица суммы произведений и начинается цикл по вычислению отдельных произведений уравнения (10—21). При фиксированном значении индекса произведения вычисляются в операторе цикла по /. [c.247] Решение системы линейных уравнений (10—2) означает нахождение таких значений неизвестных, при подстановке которых в исходную систему каждое из уравнений обращается в тонодество. [c.247] Система уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение. Однородные системы линейных уравнений всегда совместны, так как нулевые значения неизвестных для них являются решением. Совместность неоднородной системы линейных уравнений устанавливается теоремой Кронекера—Капелли [261. [c.247] Для того чтобы однородная система п уравнений с п неизвестными имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю, и наоборот, однородная система имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель равен нулю. [c.248] При обработке экспериментальных данных иногда получается система уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений. Такая система называется переобусловленной. Вопрос существования и единственности решения должен рассматриваться после приведения ее к нормальному виду, т. е. виду, когда число уравнений равно числу неизвестных. [c.249] Одним из методов решения систем линейных уравнений являются формулы Крамера (10—26). При решении системы п уравнений необходимо ге 1 раз вьгаислять определитель и-го порядка. Так как затраты машинного времени на вычисление определителей резко возрастают с повышением порядка системы, то метод Крамера существенно проигрывает в скорости по сравнению с другими методами. [c.249] Все методы решения систем линейных уравнений подразделяются на две группы точные и итерационные. [c.249] Точные методы решения систем линейных уравнений основаны на том, что система уравнений с помощью элементарных преобразований сначала приводится к более простому виду, а затем уже решается. Точными они называются потому, что решение может быть получено в результате выполнения конечного объема вычислений. При этом точность определяется лишь точностью представления числовой информации в машине. [c.249] Предположим, что матрица коэффициентов не имеет нулевых диагональных элементов. Если такие имеются, то соответствующей перестановкой строк их всегда можно сделать ненулевыми. [c.250] Поскольку определитель треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов, этот метод может быть использован и для вычисления определителя. Если в процессе сведения системы к треугольной производилась перестановка уравнений системы, то окончательно знак определителя будет определяться четностью или нечетностью числа перестановок. Нечетное число перестановок меняет знак определителя на обратный. [c.250] Хотя метод Гаусса является точным методом, неизбежное округление результатов промежуточных вычислений приводит к возникновению и накоплению погрешностей. Наиболее благоприятным случаем для возникновения ошибки является вычитание близких друг к другу величин. Тогда результат вычислений может иметь величину порядка погрешности представления чисел, что существенно искажает дальнейшие вычисления. Различные усовершенствования метода Гаусса вызваны именно стремлением повысить точность решения. [c.250] Процедура, реализующая метод Гаусса, представлена ниже. После выполнения процедуры матрица коэффициентов исходной системы сохраняется. В процедуре не производится перестановка строк, поэтому диагональные коэффициенты исходной матрицы должны быть отличны от нуля. Формальными параметрами являются п — порядок системы, А — матрица коэффициентов системы, Y — вектор решения. [c.251] Метод Гаусса—Жордана. Как уже отмечалось (стр. 235), в этом методе исключение элементов, кроме диагональных, производится с помощью элементарных преобразований. Номер столбца матрицы, недиагопальные элементы которого исключаются, каждый раз выбирается в зависимости от индексов максимального по модулю элемента строки — главного элемента. Если главный элемент недиагональный, то соответствующим образом производится перестановка строк. Такой выбор главного элемента обеспечивает минимальную вычислительную погрешность. [c.251] В методе Гаусса—Жордана столбцы, элементы которых исключаются, в дальнейших преобразованиях не участвуют. Все преобразования осуществляются с оставшимися столбцами. [c.251] Если в процессе решения производились перестановки строк, то в результируюш,ей матрице строки вновь расставляются на исходные места. Вектор является решением системы. [c.252] Программа решения системы линейных уравнений этим методом приведена на стр. 253. При обращении к процедуре GORDAN число столбцов матрицы А задается на единицу больше числа строк, т. е. формируется расширенная матрица. Матрица системы коэффициентов после выполнения процедуры не сохраняется. Выходным параметром является вектор X. [c.252] Метод решения трехдиагоналъной системы уравнений. При решении систем высокого порядка могут возникнуть трудности, связанные с размеш ением матрицы коэффициентов системы в памяти машины. Например, при решении дифференциального уравнения в частных производных (уравнения Лапласа) с числом узлов, равным 500, полная матрица коэффициентов имеет 250 ООО элементов и обьгано не может быть размещена в ОЗУ. Однако эта матрица слабо заполнена и лишь небольшое число ее элементов отлично от нуля. Другим примером таких систем линейных уравнений специального вида с большим числом нулевых элементов в матрице коэффициентов являются системы, получаемые при описании многоступенчатых процессов (многоступенчатая экстракция, абсорбция и ректификация в тарельчатых аппаратах и т. п.). [c.255] Вернуться к основной статье